锐角三角函数的知识点总结（例题分析带你轻松破解锐角三角函数多解问题）

锐角三角函数的定义揭示了直角三角形中的锐角与边之间的关系，在求解锐角三角函数的过程中，经常会遇到一些点、边、角、形等位置不明确的问题。这个时候就需要我们审清题意，分清情况，画出可能出现图形，分类讨论，探索解决。下面结合几个问题，我们一起体会分类思想在解决多解型锐角三角函数问题的应用。

类型1 由边的位置不确定诱发的分类讨论

例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有两边长分别为3和4，则sinA的值为________

【分析】根据∠C＝90°，两边长分别为3和4，由于没有确定谁为斜边对边，需要分类，画出相应的图形，再根据sinA＝∠A的对边/∠A的斜边，代入计算即可．

【解答】：根据题意画图如下：

如图（1）当BC＝4，AC＝3时，AB＝5，则sinA的值为4/5；

如图（2）当BC＝3，AC＝4时，AB＝5，则sinA的值为3/5；

如图（3）当AB＝4，BC＝3时，则sinA的值为3/4；

如图（4）当AB＝4，AC＝3时，BC＝√7，则sinA的值为√7/4；

则sinA的值为4/5或3/5或3/4或√7/4．

故答案为：4/5或3/5或3/4或√7/4

【点评】此题考查了解直角三角形，关键是运用数形结合思想，根据题意画出图形，求出sinA所对的边的长，注意不要漏解．

这一问题给我们启示：当我们求解锐角三角函数值得问题时，发现直角三角形的斜边和角的对边的位置不确定时，这时需要分类讨论。

类型2 由角的位置不确定诱发分类讨论

例2.在△ABC中，AD是△ABC的高，若AB＝√6，tan∠B＝√2/2，且BD＝2CD，则BC＝_______．

【分析】由tan∠B＝AD/BD=√2/2,可设AD＝√2x，则BD＝2x，在RT△ABD中根据勾股定理求得x的值，即可得BD、CD的长，由于∠C的位置不确定，需要分类讨论求出点D在线段BC上和点D在线段BC延长线上时BC的CD长．

【解答】∵tan∠B＝＝AD/BD=√2/2，

∴设AD＝√2x，则BD＝2x，

∵AB²＝AD² BD²，

∴（√6）²＝（√2x）² （2x）²，

解得：x＝1或x＝﹣1（舍），即BD＝2，

又∵BD＝2CD，∴CD＝1，

当点D在线段AB上时，如图1，则BC＝BD CD＝3；

当点D在线段AB延长线上时，如图2，则BC＝BD﹣CD＝1；

故答案为：3或1．

【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角、边边、角角间的关系式解直角三角形的基础，本题需考虑两种情况是关键．本题给我们启示：当我们遇到角的位置不确定时，常常需要分类讨论，分角为锐角和钝角两种情形分类求解。

类型3 由于点的位置不确定诱发的分类讨论

若点B在AD左侧，

∵AB＝2、AD＝1，∴∠ABC＝30°；

若点B在AD右侧，

则∠AB′D＝30°，∴∠AB′C＝150°，

综上，∠ABC的度数为30°或150°，

故答案为：30或150．

【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理、分类讨论思想的运用． 本题给我们的启示：当点的位置不确定时，需要分类讨论，根据动点在某一线段上或线段的延长线上分别画出图形，再构造直角三角形，借助勾股定理解决问题。

类型4 由形（图像）的位置不确定诱发的分类讨论

例4．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx b（k≠0）的图像过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是_______．

【分析】依题意，由于已知一次函数与x轴的交点A的位置不确定，导致Rt△AOB图形位置不确定，需要分类求解。已知tan∠ABO＝3就是已知一次函数的一次项系数是1/3或﹣1/3．根据函数经过点P，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而可得到A的坐标．

【解答】在Rt△AOB中，由tan∠ABO＝3，

可得OA＝3OB，则一次函数y＝kx b中k＝±1/3．

∵一次函数y＝kx b（k≠0）的图像过点P（1，1），

∴当k＝1/3时，求可得b＝2/3；

k＝﹣1/3时，求可得b＝4/3．

即一次函数的解析式为y＝1/3x 2/3或y＝﹣1/3x 4/3．

令y＝0，则x＝﹣2或4，

∴点A的坐标是（﹣2，0）或（4，0）．

故答案为：（﹣2，0）或（4，0）．

【点评】本题给我们启示：当角所在的三角形位置不确定时，需要分类讨论，考虑k大于0和k小于0两种情形，通常作x轴或y轴的垂线来构造直角三角形，从而将点的坐标转换为线段的长，再综合利用已知相关的知识，解决问题。

牛刀小试：

1．在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝_____．

2．在△ABC中，AC＝2√5，点D为直线AB上一点，且AB＝3BD，直线CD与直线BC所成锐角的正切值为1/2，并且CD⊥AC，则BC的长为_____．

【练习答案及提示】

1. 2/5或1/4　根据勾股定理先求出BD的长，CD＝BC﹣BD，再根据三角函数的知识求出tanC的值．本题有两种情况，若高AD在△ABC内部，若高AD在△ABC外部．

2. 2.5或5 当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，先求出BE，EC，在RT△BCE中利用勾股定理即可解决;当点D在线段AB上时，作BE⊥CD于E，方法类似第一种情形．

知微见诸，以上例题讲解我们可以看到分类讨论在这里起到独特作用，有必要在锐角三角函数问题重视这一数学方法的应用。分类讨论，既是一种重要的思想方法，又是一种数学解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归纳整理的方法，使知识条理化，训练思维的严谨性。所以它既是思想又是方法，同时也是一种习惯思想。在应用分类讨论思想解决问题时，一定要明确何时何类，为什么分类，这样才能不重不漏，使复杂的问题得到清晰完整严密的完美解答。

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