普林斯顿数学分析目录（推荐孟道骥教授）

编者按：2004年12月3日，陈省身先生在天津医科大学总医院逝世，享年93岁，今天正好是陈先生逝世17周年。陈先生生前（2003年）精心编辑了2004年《数学之美》挂历，原本打算邀请一些人撰写一本详细介绍这些内容的科普读物，可惜未能如愿。之前我们还在公众号分享过，见>>数学之美挂历欣赏 | 数学大师陈省身亲自构思、设计。近期高等教育出版社出版了一本新书《< 数学之美 > 浅读》，是南开大学数学学院孟道骥教授对挂历的解读，今天我们分享林开亮老师对该书的介绍文章，以表达对陈省身先生的纪念。

作者 | 林开亮（西北农林科技大学）

今年10月，高等教育出版社出版了一本新书，《< 数学之美 > 浅读》（下称《浅读》），作者是南开大学数学学院的孟道骥教授。在这本书出版之前，我就从南开大学陈省身数学研究所白承铭教授那里得知，孟老师正在写这么一本书。我一直期待它的问世。因此，该书出版后，我第一时间从网上下单，想先睹为快。

之所以这么期盼，有两方面的原因。第一，这个主题是从陈省身先生2003年创作的《数学之美》挂历延伸出的，非常吸引人；第二，当我还是天津大学的一名本科生时，从孟道骥老师编写的《高等代数与解析几何》中受益良多，我很期待他对“数学之美”挂历的解读。

陈省身先生创作的《数学之美》挂历有十二个主题，如下：

一月：复数

二月：正多面体

三月：刘徽与祖冲之

四月：圆周率的计算

五月：高斯

六月：圆锥曲线

七月：双螺旋线

八月：国际数学家大会

九月：计算机的发展

十月：分形

十一月：麦克斯韦方程

十二月：中国剩余定理

在《浅读》中，孟道骥教授对这十二个主题依次展开，深入浅出地分享了他对各个主题的理解。以下我们逐一介绍。

陈省身先生对复数 (complex numbers) 情有独钟。因此，挂历的开篇就是复数。之所以如此，也许与他个人的经历密不可分。他曾在美国数学会的 Notices 访谈中提到：“My main idea is that you should do topology or global geometry in the complex case.The complex case has more structure and is in many ways simpler than the real case. So I introduced the complex Chern classes.”

图片左下方的数学家是 Gauss(1777–1855)，他本人非常也重视复数。

Gauss 图像旁边的公式是 Euler 公式，被誉为最美的数学公式。

英国数学家 Atiyah 在《数学是发明还是发现》说道：

如果有人问: 在数学中，哪一个公式最美丽? 我想所有数学家都会同意，就是欧拉公式。这是在数学最奇妙的公式，因为在单一条公式中，包括三个最重要的数字:−1 的平方根 i、π 和 e。这条令人惊叹的公式，包含了最基础的意义。正因如此，它是如此的美妙。同时，我亦视这公式为数学界里，可与文学界最著名的句子媲美——莎士比亚四大悲剧之一的《哈姆雷特》里“To be,or not to be”。句子简短，但是这十分简单的句子却蕴含一个深厚的意义。所以，数学家其实同样有美的触觉。数学和艺术相同，两者依赖于同样的理念，就是既简单又深刻。

在陈省身先生的描述文字中，有一句“高斯在证明代数基本定理和研究双二次剩余理论中应用并论述了复数”，“双二次剩余”(双二次 = 四次) 在《浅谈》中被误写为“二次剩余”。关于这一历史，我们推荐两篇文章：

三维空间有五种正多面体，这是古希腊数学的一个杰出成就。据说，这是 Theaetetus (417-369 BC) 首先证明的。Euclid 在《几何原本》十三卷的最后一个命题，就是三维空间恰好有五种正多面体。

至于更高维数的空间，瑞士数学家 Schläfli(1814– 1895) 在 1852 年证明了，四维空间有六种正多面体(注意挂历中的说法并不正确)；五维以上空间有三种正多面体。在其发表近 30 年后，美国数学家 Stringham 重新发现了这一结果，而且在 1881–1990 年间，先后有其他八位数学家重新得到这一结果。

孟老师在《浅谈》中介绍了 Theaetetus 定理的两个证明，一个是利用多面体的 Euler 公式

V − E F = 2,

一个是利用群作用。

《浅谈》中还提到，存在非凸的正多面体。实际上，一共有四种，这是 Cauchy 所证明的，它们被称为 Kepler–Poinsot 多面体。

三月的主题是刘徽和祖冲之，他们两位对圆周率的计算有接触贡献。π ≈ 3.14，是刘徽的贡献。值得注意的是，从2020年开始，数学人有了自己的节日：每年的 3 月 14 日是“国际数学节”。

刘徽为《九章算术》做注，提出许多独到的见解。

祖冲之将 π 精确到小数点后 7 位，并且与儿子祖暅解决了球体体积的计算。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”其中幂指面积，势指高，积是体积。

顺便说一句，据说清华大学早年国文考试有一题目是对对子，上联“孙行者”，求下联。官方给的答案是“胡适之”，而当时作为研究生的陈省身想到的下联则是“祖冲之”。可见，数学家眼里都是数学。

左下角的刘徽与右上角的祖冲之，系画家想象之创作，不必当真。

圆周率是常数，据说首先为阿基米德所证明。

从毕达哥拉斯学派的观点来看，他们会关心的问题是： 是不是有理数；从欧几里德尺规作图的观点来看，他们更关心的是：是不是可以尺规作图（可否化圆为方）？

这两个问题的回答都是否定的。前者是 Johann Heinrich Lambert 1760 年左右证明，而后者是 Lindemann 1882 年证明。后一个成果当时引起了轰动，因为这是最后一个解决的尺规作图三大几何难题。

另外两个几何难题，分别是用尺规作图倍立方和三等分任意角。他们是由法国数学家 Pierre Wantzel (1814–1848) 在 1837 年解决的。《浅谈》50 页给出的定理，就归功于 Wantzel。

Gauss 一度在数学与文学之间游移不决，最终让他定决心献身数学的，是他发现了正十七边形可以尺规作图。在 1801 年出版的《算术研究》中，正十七边形的尺规作图是全书的高潮。Gauss 的工作启发了Abel 和 Galois，最终引出了 Galois 理论。Wantzel 的工作进一步完善了 Gauss 关于正多边形尺规作图的结果。

跟阿基米德一样，Gauss 既重视理论，也重视应用。他的一句名言可以很好地与思政结合：

圆锥曲线是古希腊数学的一个杰出成就。在三类曲线中，抛物线也许是我们在生活中最先遇到的，朝天空扔出一个石头，划出的弧线，就是抛物线。喷泉的路线也是。

牛顿发现，天体的运动，跟扔石头没有多大差别。根据牛顿运动定理和万有引力定律，他在《自然哲学之数学原理》中推导出围绕太阳运动的行星之运动轨迹一般为圆锥曲线，依据初始条件的不同，分别为椭圆、抛物线和双曲线。

八月的主题是国际数学家大会 (ICM)。ICM 四年一度，又被誉为“数学界的武林大会”。

2002年，国际数学家大会在北京召开。会徽是著名的弦图，由此可以引出勾股定理的证明。

陈省身先生是本次大会的名誉主席，他在开幕式上的发言见《浅谈》67 页。

下一届国际数学家大会将于明年七月在俄罗斯圣彼得堡召开。

19 世纪物理学的一项杰出成就，是麦克斯韦的电磁理论，居于核心位置的，是麦克斯韦方程。在 20 世纪，麦克斯韦方程被 Weyl 几何化。更进一步，杨振宁和Mills 推广了麦克斯韦方程，得到著名的 Yang-Mills方程，这是 20 世纪物理学的一项杰出成就。杨振宁等发现的规范场与纤维丛之间的密切联系，可与爱因斯坦将黎曼几何应用于广义相对论的宏伟诗篇相提并论。

最后一个主题是中国剩余定理。关于这个经典的定理，张贤科老师在其《高等线性代数》(214 页) 中曾给出一个极漂亮的叙述，分享如下：

孟老师在 100 页的篇幅中分享了他对这十二个主题的解读，他自谦为“浅读”，实际上有些主题（偏代数的部分）是极深入的。作为全书结尾，孟老师还写了一节“浅读之感想”，分享了他的一些个人感想，我觉得最后一点是尤其值得引起读者关注的：数学普及工作要继续加强。

我国的数学普及工作，老一辈的数学家如华罗庚、段学复是表率，科学出版社出版的《数学小丛书》惠及了成千上万的数学爱好者。陈省身先生的《数学之美》挂历才刚开头，不想就成了结尾。如今，孟道骥教授接过陈先生的火炬，为我们数学普及工作者开了一个头，相信以后会有越来越多的优秀数学科普作品问世。

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