摩擦桩竖向承载力图（挥拍力来源力矩分析）

前一帖写了挥拍力来源受力分析，总感觉意犹未尽，因为打乒乓球的人体运动不仅有平动，还有转动。打球时人体受重力作用，受地面约束，实际上仍然是一个复合运动，存在六个自由度的三维平动和三维转动。人体运动可能是世界上最复杂的运动之一，其受力(矩)分析还是有点繁琐的。

说到转动，当然离不开力矩、力偶、角加速度、角速度、角位移、角动量等等物理量。先从假设的最简单人体刚体模型开始分析，注意力的平移效果。

1 水平挥拍力矩M

图1中，先看足底，被蹬地力F1（图中没画出来）引发的地面支反力F2由弹力FN和的向前的水平摩擦力FH构成。FN向上滑移到人体重心处和重力G达成平衡，FN=G且方向相反，即上下方向的合外力为零。显然，当球拍被水平向前方向挥动时，向下的重力完全被向上的弹力抵消。

FH向上平移到人体重心处为FH1，根据力的平移规定，FH1必须同时携带反向平衡力FH2以保证力的总体效果不变。这样一来，FH1成为身体重心向前运动的动力，而FH2和FH这两个大小相同、方向相反、作用不在同一条直线上但相互平行的力组成一个力偶，形成图中人体作顺时针旋转的力偶矩M1。

此时，三个外力只剩使人体重心向前运动的推动力FH1，和一个使图中人体作顺时针旋转的力偶矩M1（由FH2和FH构成）。宏观效果就是我们看到的人体和球拍向前运动，同时人体躯干从俯身（引拍）到挺身（击球）的姿态变化（绕身体的左右水平横轴额状轴旋转）。

2 斜向上加速挥拍力

同样的力矩分析方法可以应用到斜向上方加速挥拍力的情景中。图2中，三个外力只剩使人体重心向前上运动的推动力F3，和一个使图中人体作顺时针旋转的力偶矩M1（由FH2和FH构成）。宏观效果就是我们看到的人体和球拍向前上运动，同时人体躯干从俯身（引拍）到挺身（击球）的姿态变化（绕身体的左右水平横轴额状轴旋转）。

3 如果蹬地引发的地面支反力总作用点不在人体重心的垂直投影点，因FN0和FN不在同一条直线上，弹力FN0就不能直接向上滑移，必须根据规则平移到人体重心处。假设地面支反力总作用点在人体重心的投影点后面（图3），即主要是后足发力向前蹬顶。

此时FN0向上平移到人体重心处为FN，根据力的平移规定，FN必须同时携带反向平衡力FN1以保证力的总体效果不变。这样一来，FN与重力G抵消后，还剩下一个向下的FN1，而FN1和FN0这两个大小相同、方向相反、作用不在同一条直线上但相互平行的力组成一个力偶，形成图中人体作逆时针旋转的力偶矩M2。M1与M2的方向正好相反，其合力矩要看两者相对大小。小者被大者完全抵消，人体仍按大者的方向旋转。

从实测数据估算，M=Fd，正手拉/攻球上下方向蹬地分力一般为前后方向的3-4倍左右（200 ：60牛），但前者力偶臂长却只有后者的十分之一左右（10：100厘米）。所以，一般情况是M1 > M2，我们观察到的实际拉/攻球动作也正是如此。图4中球员拉弧圈过程，明显有一个顶髋挺身动作，躯干的俯仰角明显增大。

实际击球动作球员身体和球拍还有一个显著的水平旋转行为，如果综合三维平动和三维转动同时考察情况还要复杂很多。

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附录：刚体中力的平移

作用在刚体上某点的力可以等效地平移到刚体上任一点称平移点但必须在该力与该平移点所决定的平面内附加一力偶。此力偶之矩等于原力对平移点之矩（F*d=M）。

力偶矩为M“力偶的力矩”的简称，亦称“力偶的转矩”。力偶是两个相等的平行力，它们的合力矩等于平行力中的一个力F与平行力之间距离d（称力偶臂）的乘积，称作“力偶矩”，刚体中的力偶矩与转动轴的位置无关，在无支点时一般绕重心轴转动，有支点时一般绕支点转动。