复数及其几何意义（复数的产生）

形如的形式在数学中被定义为复数，其中为虚数单位，、为任意实数。

要说复数的产生，先从数的演变史开始说起。

最初，人们从自然界中启发，得到了数字1、2、3……，当然还有0，这就是自然数，来源人们对现实世界的认知。

接着，如果1个馒头要均分给5个人，要怎么分，每人分多少呢？1段树枝被折成相等的2半，那一半是多少，怎么表示呢？人类为了知识的记录和文化的传播，一切从简，就发明了分数，当然也可以写成小数的形式：

=0.2，=0.5，=0.6等等。

到目前为止，来自于人们对现实世界的直观总结所建立的数字表达，它有明显的可参照对象、有轨迹可循、看得见、摸得着、想得到，人们后来就认为这些都是理所当然的，所以就叫它们为有理数。即所有可以表示为分数形式的数都叫有理数，当然自然数也可以表示为分数=0，=1，=3，=2，=5……。

随着人类文化的不断迭代发展，数学运算和数学表示在不断的丰富，除了 法、-法，根据类似2 2 2（3个2相加）难道就不能表示为更简单的形式么？3x2，于是乘法诞生，因为对于3 3 3 3 3 3 3 3这样的繁琐的运算，可以用更简单的表示8x3，so easy！

文化再次不停地迭代，5x5=25，3x3=9，2x2=4，是否完全可以再简单地表达？人类总是向着大道至简的目标前进，于是5x5==25，2x2==4……，有了平方数。

人类文化在迭代中不断地向前狂奔，有些人就脑洞大开了，不对呀！4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方，妈呀！也就是说1的平方是1，0的平方是0，那么在平方结果中，只有0、1、4、9、16、25……会出现，那中间是不是少了很多数啊，谁的平方是2呢？又谁的平方是3呢？谁的平方是5？……连续自然数平方的结果并不是连续的自然数！

好吧，既然谁也不知道？那就给它个定义吧，难道还有数学不能描述的世界吗？数学就是为大世界服务的，必须补上这个漏洞，好嘞，的平方就是2，它表示=2，类似的=3，甚至还有=5等等。

突然感觉不好把握了，那么既然已经定义并存在了，它到底是多少啊？因为1的平方是1，2的平方是4，的平方是2，所以肯定比2小，也肯定比1大，但是能具体和其他数比较一下吗？至少知道大概是多少吧？突然发现，这已超出当时人类的脑洞了，不好理解了。

毕达哥拉斯（约公元前580至公元前500）是古希腊的大数学家。他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。

为了理解，为了客观形象地认识它，就让现实世界来描述它，在几何学中，边长为1个单位的正方形，其面积很好算，比如边长为1米的正方形土地面积为1x1=1平方米，那么它的对角线是多少？根据勾股定理，设对角线长为，那么 =,即=1 1=2,好了，=，对，那个对角线的长度就是你们要找的的大小。

但是，究竟比1或者2或者任何其他整数大多少，能给一个大小比例吗？就像=0.6一样。

毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个像往常一样讲道理的数，它不是正常数），它真的没有办法用分数来表示，可是它确实存在啊！这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该发现的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，还是遇到了毕达哥拉斯学派的门徒，在一条海船上被残忍地投入了水中杀害。

没天理啊，没有道理啊！于是一个没有道理的数（无理数）就这样出现在了数学领域中。欧几里得（约公元前330年至公元前275年）《几何原本》中就提出了一种证明是无理数的经典方法。圆周率、以及后来发现的自然常数= ……等等都是无理数。

“万物皆为数”如果继续有用，那么就得让数域继续膨胀，于是把无理数拉进队伍里！有理数和无理数合在一起被称为实数，为什么叫作实数，这是因为和虚数相对应的，有实就有虚，好了，就引出来今天的主角，虚数！

如果说实数是来源于对自然界数量的刻画（英文中标量、也叫纯量scalar,就是刻画的意思），有理数是来源于对比列的刻画，无理数是来源于对某种长度的刻画，那么，虚数就是人为制造的，是在现实生活中完全找不到实际相应背景的，它用英文单词imaginary来表示，imaginary的英文原意即为虚构的、想象的、假象的，简写为。

为什么非要假想一个这样实际不存在的数呢？因为在当时的数学公理体系中，时常有以下这样的现象发生。

对于1元2次方程=1的解是1和-1，如果是=-1呢？它有解吗？

数学从某种程度上来说，应该是对称的、完美的、无所不包的、没有漏洞的，我不能无视=-1，好吧，当然我们也可以回避它，在数学史上，大家就是这么做的，“我为什么要解决这个问题？”，对于此类问题很长时间都没有需要解决的紧迫性。

一个正数乘一个正数为正数，一个负数乘一个负数也是正数，因此，一个数自乘之后必然为正数，不管这个数是正数还是负数。也正因为如此，古希腊学者丢番图虽然知道1元2次方程有2个根，但其中有一个为虚数时，他宁可认为这个方程是不可解的。一直到16世纪，数学家们都普遍认可丢番图这种处理虚数的办法，“我们就是无视它！”。

事情的转机是这样的，人类不仅仅满足于求2次方程。

16世纪意大利米兰学者卡当（1501至1576）在1545年发表的《大术》一书中，公布了3次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”，由它奠基了3次方程解的通用公式。

对于3次方程 p q = 0的其中一个解为：

=

比如：- 15- 4 = 0

就会得到= ，对于的出现，按照传统的认识，我们肯定会一脸懵逼，按照以前的定论，这个方程就该无解了，一出现负数开平方，就像=-1这样，我们会认为是没有结果的，这一页会被翻过去的。但是如果你把4带入-15- 4 = 0，你会发现它是有解的，而且该方程通用解法的另外两个解公式，也会出现。是公式错了吗？也不是啊，当没有出现负数开方的时候，依靠公式计算的结果就是正确的啊！

好吧，那么就让我们暂且勇敢一点，认为是没有错误的，因为=121，我们暂且可以认为=11，

因为，按照运算规则得到的=2 11，

所以得到= =2 2-=4，嗯嗯，结果很正确。是的，虽然在运算途中出现了，但在结果里它没有出现，而且我们得到了正确的结果。诸如类似这种负数开方在很多数学运算中都会出现，如果你允许它的存在，继续计算下去，它不但不影响结果的正确性，而且它有助于得到正确的结果，它已成为诸多数学运算得到正确结果的有效桥梁，说明它很科学，它的存在很有必要。

既然它是必要的，我们为什么就不承认它呢，好吧，我们就认为=，它是1个虚数单位，并且规定= -1,= 1,= -1,但是它实在不是我们现实世界中的所见即所得，所以就给它起了个名字“虚数”，纯粹虚构的数。

每次数域领地扩大的时候，都会冲击着某些人的灵魂， “虚数”这个名字本身就代表着最初的偏见。16、17世纪欧洲大多数数学家都不承认负数是数，帕斯卡（法国数学家1623至1662）认为从0减去4是纯粹的胡扯，还有毕达哥拉斯学派把发现无理数的希伯索斯扔到海里一样，虚数的出现还是引起了数学界的一片困惑，当时很多大数学家都不承认虚数，莱布尼茨（德国数学家1646至1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。1633年，笛卡尔（法国数学家1596至1650）正式给出了“虚数”的称谓，不过他并不承认虚数的存在。牛顿也是如此，他认为虚数并不能够在他的物理世界中得到意义，所以拒不承认虚数的存在。欧拉（瑞士数学家1707至1783）在《代数指南》中说“所有如、、、之类的表达式，皆不可能，或者说为虚数……而在这类数中，我们可以真正地断言，它们既非零，非大于零，亦非小于零，这必然使它们成为虚幻的或不可能的”。

好吧，我们来正式地梳理一下“虚数“的成长史：

拉斐尔.邦贝利（意大利数学家1526至1572）在1572年发表的《代数学》中总结整理了卡当《大术》中的发现，提出负数的平方根很有可能是一种全新类型的数字，他称之为“复杂的数”，而且他还详细的介绍了“复杂的数”计算规则。

法国数学家笛卡尔1637年在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。

棣莫弗（法国数学家1667至1754）在1722年发现了著名的和虚数运算有关的棣莫弗定理。

达朗贝尔（法国数学家1717至1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（、都是实数）

欧拉在1777年《微分公式》第一次使用符号来表示。

威塞尔（挪威测量学家1745至1818）在1797年试图给予这种虚数以直观的几何解释，然而没有得到学术界的重视。

阿尔冈（德国数学家1777至1855）在1806年公布了虚数的图象表示法。

即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一条数轴来表示，但是两个数轴是无关的，在数学的平面上，无关的维度最直观的表达就是正交，即把实轴和虚轴正交，横轴上取全部的实数的点，纵轴上取全部虚数的点，那么平面上的其他点，就是表示那个数既含有实也含有虚的，这下用一个平面就包含了所有的数系。

高斯在1831年，用实数组（，）代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”。也是他在1832年第一次提出了“复数”这个名词。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。

1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名。

至此，复数理论比较完整和系统地建立起来。

这个大厦就是复数体系，英文为complex number, complex就是复杂的、复合的意思，复数就是复合了实数和虚数的复杂数系，因此可以表示为，是实部，是虚部，和的大小分别是对实部和虚部大小的刻画，当为0时，那就是在实数域裸奔，当为0时，那就是在虚数域飞翔，所以有实轴和虚轴的平面也可以称为复平面，任何一个复数也可以表示为有序实数对，它们分别表示一个复数在实、虚两个维度的大小。

与纯粹的实数不同，在复数集合中有可能不存在大小关系，也就是说两个复数之间也许不能比较大小。任何量的大小比较都是在1个维度限定下进行的，当超越1个维度时，量的传统大小比较将毫无意义。回想我们最初的定义：数字是那些能够由小到大进行排列的符号，在这个意义上，复数确实不是数字。这并不意外，在它的定义平面上，它们还有自己的方向属性，这也使数变得越来越抽象了。但是，复数集合是强大的，它包含实数集合，因为只需要在复数中令虚数前面的系数为0就可以了。

复数的存在，保证了n次方程根的完备性，只要允许“真根”（正实根）、“假根”（负实根）和“虚根”（复数根）存在，n次方程将有n个根，一个方程解的数量与它的次数相同，这是”代数基本定理“。

欧拉和高斯用复数来解决代数和数论。

哈密顿（爱尔兰数学家1805至1865）用复数来研究物理，并根据复数发明四元数理论。

柯西和高斯设计了适用于复数的微积分，被证明非常强大。

法国数学家雅克.哈达玛说：“实数领域中两个事实之间的最短路径经由复数领域“

下面就是数的进化史，不断有新数被编进队伍，数也越来越抽象，但也越来越强大。

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