如何计算杨辉三角一共有多少个数（数字的故事1杨辉三角的诞生）

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这是一个长长的故事，让我们一起来完成它！

01 诞生

如果遇到一个根本不知道杨辉三角是什么的人，你会怎么给他介绍这个数学概念呢？

我们普通人很难记得类似这样的数学术语的严格定义。然而，但凡知道了杨辉三角的人，要想忘记它都不容易。通常，我们拿起一支笔，随手写下这么几行数字，然后说，这就是杨辉三角。

手写杨辉三角

如果你没有忘记在下面多画几个点作为省略号，基本上这就算成功地定义了杨辉三角。

这是因为：数学本身就是一门语言。

当然，你自己心里非常清楚：你自己并没有死记硬背这几行数字，而且你有信心可以再多写很多行，虽然在续写的过程中你甚至并没有预先知道接下来要写的究竟是哪些数字。

为此，虽然这个人已经大致明白了杨辉三角，你还是想把能够随手写出一个杨辉三角的“诀窍”告诉他。因此，你会用自己的语言表述以下这几点。

杨辉三角是：

1. 首行为一个数字，每一行数字个数比上一行增加一个，且上下行的数字交错排列形成类似三角形状的数字阵列；
2. 每一行首尾数字均确定为“1”的数字阵列；
3. 除确定数字外，其他数字都是上一行与之相邻的两个数字之和的数字阵列；
4. 行数没有限制的数字阵列。

这些可以说是给杨辉三角一个明确的定义，也可以说是总结了杨辉三角的性质。相信你和他都认可这些性质当中，“每一个数字都是上一行与之相邻的两个数字之和”是杨辉三角最基本的属性。

当我们都认可了杨辉三角本身的简洁之后，未免会有一点疑惑：为什么要规定这个三角形的两边的数字都是“1”呢？或者说，难免产生一点遗憾：这样简洁的一个数学概念中，这一条规定显得有些啰嗦和多余。

这个时候我们不妨变得浪漫一些，充分发挥创造力和想象力，一起来设想杨辉三角是如何诞生的。

在一个无边无垠的平面上，填满了数字“0”。这些数字的数量虽然很多，却满足：

1⃣️上下两行交错排列；

2⃣️每一个数字是上一行与之相邻的两个数字之和。

我们可以认为这是一个虚无的平面宇宙，充满的数字是“0”，把这个宇宙内在的规则深深地隐藏着。

如同物理学所创造的宇宙大爆炸假设，不需要任何理由，我们也假设这个平面宇宙中有一个数字“0”发生了突变，变成了数字“1”。于是我们知道，如同宇宙大爆炸之后，缤纷多彩、浩瀚无垠的宇宙就此诞生了。我们的平面宇宙上，一个神奇的三角形数字阵列也凭空诞生，基本上也是迅雷不及掩耳之势，也是无限制无止境地存在于平面上。

杨辉三角的诞生

这样一种生成杨辉三角的故事不仅仅是浪漫，而且更充分地显示了杨辉三角的简洁，只需要数字是交错排列，每一个数字是上一行相邻两个数字之和，这样最基本的属性。甚至我们不用去定义它是三角形形状，它有无穷多行，这些特点都显而易见了。同时，我们也不需要解释为什么三角形两边的数字都是“1”，因为这些“1”也是上一行两个相邻数字之和，这两个数字一个是 1 ，一个是 0 ，相加后也还是 1 。

当然，我们再一次看到，“每一个数字是上一行相邻两个数字之和”这一属性在杨辉三角中具有关键性的作用。

02 第一个等比数列

通常在介绍了什么是杨辉三角之后，我们马上都会顺带补一句：这个三角形还很有意思的，比如把它每一行的数字求和。

杨辉三角本身就是一个关于数字的游戏，所以我们用其中的数字来玩一些把戏也未尝不可。在手写杨辉三角的过程中，几乎是不知不觉中就可以发现每一行数字不断增加的趋势。前面几行的数字计算又不复杂，顺手把它们加起来，就得到了这样的结果：

1 2 4 8 16 32 … …

这是一个数列，特征还挺明显的：每一个数字都是前一个数字的 2 倍。在二进制大为流行的计算机时代，这个数列被很多人所熟知。数学家们称其为等比数列，因为它的后项与前项之比为一个常数。

要描述一个等比数列，最重要的是给出公比，也就是后项和前项的比值，在这个例子中公比等于 2 。一般来说，公比不能等于 0 。当公比等于 1 的时候，这个数列就成为常数数列，每一项的数字都相同。另外，描述等比数列通常还要给出首项的值，在这个例子中首项等于 1 。于是，我们可以用这样一个通项公式表示这个数列：

(n=0, 1, 2, 3, …)

在通项公式中，用带有脚标 n 的字母来表示数列第 n 项的值，等式右边通常是一个包含字母 n 的算式，可以据此计算出一个确定的数值。在我们的讨论中，如果不加另外说明，n 都是从 0 开始的自然数。

为什么杨辉三角的各行数字之和可以形成这样一个等比数列呢？其实很好解释：我们选一行进行观察，这一行的每个数字都是上一行两个相邻数字之和。于是上一行的每个数字都被加了两遍，所以这一行的数字之和是上一行数字之和的两倍，这是显而易见的结果。

如果用表示杨辉三角第 n 行的数字之和，依据这个解释我们就能知道第 n 行的数字之和是第 n-1 行数字之和的2倍，写成算式就是：

同时我们还知道杨辉三角第 0 行只有数字“1”，求和后显然是

这样一来，和前面的等比数列一模一样的就出现了。

我们还可以更仔细观察新的一行究竟是如何产生的。将相加的两个数字上下写出来，实际上就是将上一行的所有数字写了两遍。所以，新的一行是上一行的两倍，这个结论同样明显。

更有趣的是，用这个视角我们看到了新一行的产生过程就是上一行错位相加的过程。“错位相加”这个独特的视角将给我们带来意想不到的延续，让我们拭目以待吧。

03 第二个等比数列

在手写杨辉三角的过程中，如果我们写得过于潦草随意，也许会是这个样子。

写成这样，稍微有点数字敏感性的话，就会发觉前面几行的数字挤在一起，居然分别是 11 的平方、立方和四次方。考虑到 1 可以是 11 的 0 次方，11 是 11 的一次方。我们已经可以肯定杨辉三角前面几行这些数字挤在一起就是 11 的 n 次方（首行为第 0 行）。随之就大胆猜测这个结果能够一直延续。

于是我们借助计算器得到 11 的 5 次方等于 161051 。显然这和第 5 行的数字 1 5 10 10 5 1 的关联性就不是那么直接了。后面 4 位的 1051 似乎还是维持了前面的规律，然而，前面的两位 16 和 1 5 10 这三个数字是什么关系呢？

有人也许会很快看出来，有人可能就一直没看明白。

如果将 1 5 10 这三个数字“挤”在一起，同时考虑到 10 应该有进位的话，得到的结果是 160，同样的考虑方法，后面三个数字 10 5 1 “挤”在一起，得到的是 051，同时有个进位 “1”。

用一个竖式将这种想法写出来，就要直观很多。（果然，数学就是一门语言。）

这个可以算作是我们自己的一个小小的发现吧！伴随着发现小秘密的喜悦，当然我们就想验证这是不是一定成立的规律。

结果不言而喻。

结论是：考虑到进位因素，杨辉三角第 n 行的数字“挤”在一起形成的多位数，等于。

在前面我们提到了“错位相加”，现在又得到了公比为 11 的等比数列。将“错位相加”和数字“11”联系起来，应该不是一件困难的事情。

小学数学老师曾经教给过我们，一个数乘以 11 的速算方法就是错位相加。

数字 abc 可以写作 100a 10b c，乘以 11 就是分别乘以 10 和 1 再相加，也就是 1000a 100b 10c 与 100a 10b c 相加，得到 1000a 100(b a) 10(c b) c。

如果这个 abc 本身就是 11 的 n 次方，比如说杨辉三角第 3 行的数字组成的 1331 ，是 11 的3 次方，它错位相加的过程也就是乘以 11 的过程，得到的就是 11 的 n 1 次方。所以，杨辉三角的第 3 行的数字错位相加后，得到的是杨辉三角第 4 行的数字就是 11 的 4 次方。

这个流程的源头来自于杨辉三角的第 0 行，数字 1 本身也是 11 的 0 次方。

我们的竖式运算中，用到错位相加如果有进位问题，自然而然就进位了。杨辉三角产生新一行的过程中如果出现了两位数或者以上的数字，那么我们把它们“挤”在一起的时候，当然就要补上“进位”这个环节了。

04 二项式定理

“错位相加”是一个法宝，有了它，我们就可以讨论杨辉三角和二项式定理的联系了。

首先要复习一下什么是二项式定理。教科书上是用完全平方和公式

来开启我们对二项式定理的认知的。

这个公式其实就是两数之和的平方展开式。仿造这个公式，还可以写出两数之和的立方、四次方甚至更高次的展开式。

同时，我们可以补上 0 次方和 1 次方的结果：

将这些等式统一整理，并且把系数“1”也明确地写出来，我们清楚地看到这些系数和杨辉三角各行的数字完全一样。

于是我们猜测有这样的结论：两数之和 n 次方展开式的各项系数就是杨辉三角第 n 行的各个数字。

要把猜测落实为我们的信仰，只需要用“错位相加”这个法宝，将两数之和展开式的递进过程搞清楚就可以了。我们以两数之和 3 次方到 4 次方的过程为例。从 3 次方到 4 次方，只需要乘以一个 即可。

为了把错位相加展示得清晰一些，我们把这个过程用竖式来展现：

3 次方展开式中的各项系数已经是杨辉三角第 3 行的各个数字，乘以就是分别乘以 a 和 b，导致它们的同类项就是原来的各项错位对齐，合并同类项就成为原有系数“错位相加”的过程。同时，我们已经知道，杨辉三角第 3 行的各个数字错位相加，得到的一定是杨辉三角的第 4 行，也就是第 4 行的各个数字成为了 4 次方展开式的各项系数。

从 3 次方到 4 次方的演进过程适合于两数之和展开式的任意 n 次方到 n 1 次方，所以，我们已经可以坚信：两数之和 n 次方展开式的各项系数就是杨辉三角第 n 行的各个数字。

用一个算式写出来就是：

其中带有脚标的字母 c 表示的是杨辉三角第 n 行的各个数字。

在这个算式，令，那么，等式左边就是。同时， a 和 b 的任何次方都等于 1 ，任何数乘以 1 都等于它自身，所以等式右边剩下的就是这些系数相加了。也就是：

类似的，令，那么：

这是不是再次验证了杨辉三角中藏着和这两个等比数列呢？

（未完待续！）

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