极限论与洛必达法则解释（为什么永远追不上这只乌龟）

在人们的印象中，乌龟是一种爬行速度很慢的动物。关于乌龟有一个耳熟能详的寓言故事：龟兔赛跑，跑的特别快的兔子和特别慢的乌龟进行对比。大家都知道这则寓言的结果：乌龟赢了，因为兔子睡着了。

没有多少人会真的认为乌龟是追不上的。可实际上，在公元前5世纪，有一位前辈思考这个问题。我们无从得知，这位前辈是不是吃饱了撑的，还是闲的没事干，或者脑子进水了，反正就是脑洞大开，给出了下面这样一个案例：

“阿喀琉斯（古希腊神话中的英雄）与乌龟展开竞赛，他的速度是乌龟的10倍，但是乌龟在他前面100米处出发。

• 当阿喀琉斯跑了100米时，乌龟已经跑了10米，仍然领先10米；

• 当阿喀琉斯再跑10米时，乌龟又跑了1米，仍然领先1米；

• 当阿喀琉斯再跑1米时，乌龟又跑了0.1米，仍然领先0.1米；

• … …

当然，任何一名中学生都可以建立阿喀琉斯和乌龟的速度函数，或者在二维平面中用两条直线相交求交点的方法，求出阿喀琉斯追上乌龟所需的时间和距离。

在这个答案中，可怕的无穷小数又出现了

但这完全是建立在“我们已知（或假设）阿喀琉斯能够追上乌龟”这个前提下。而在长达2000多年的时间里，学者们苦恼的是如何证明这个前提！比如上面那个无穷级数，我们对其进行四则运算求和，是因为我们知道他收敛，否则不能随意的将四则运算扩展到无穷范围内。

再比如下面这个著名的交替级数的和，就有好几种答案：

谁对谁错？似乎都很有道理啊

为什么会这样，出现好几种看起来都正确的答案？

• 有限范围内的四则运算，扩展到无穷时，不一定适用。比如上面这个级数，计算顺序的改变，会导致结果不同；

• 有些计算，已经先假设了级数是收敛的，比如上面这个级数的第三种解答。如果S不存在、不收敛，不能做这样的运算。

柯西在1821年着手研究，并逐步结束了这种混乱的局面。

1. 无穷级数不一定收敛，即不一定等于某个确定的值；

2. 在有限个数相加时，可以任意改变计算顺序而答案不变。但是在无穷个数相加时，这一定律不适用。

进一步，柯西还给出了级数、数列的收敛条件和判定方法。可以说，是柯大爷把“无穷”这头祸害了数学上千年的猛兽重新关进笼子。

Cauchy，Augustin Louis 1789-1857