三角形内角和什么情况下不为180度（三角形内角和为什么可以不等于180度）

几何原理和平行假设

大约2300年前，在埃及的亚历山大城，欧几里得写了《几何原理》，这是几何学中一系列涉及各种主题的定理和证明。 《几何原理》的48个已被证明的定理是基于欧几里得在开始工作时列出的5个公理、23个定义和5个常见概念。 这些定义涵盖了理解其余工作所需的词汇表。 常见的概念是代数等价，如交换性(a b=b a)和传递性(如果a=b和b=c，那么a=c)。 这5个公理是构成逻辑系统主干的未经证明的陈述。 在这5个公理中，有4个比较直观，

即：

• 两点之间可以画一条直线，
• 线段可以定义一条直线，
• 圆心和半径可以定义圆，
• 所有的直角都是全等的，

然而，第五个也是最后一个假设称为平行公设 就不那么明显了。 是最常见的说法,“如果一条直线落在两条直线同侧上的内角不到两个直角的总和,那么那两条直线,如果无限期地延长,这两条直线将在小于两个直角和这侧相交。” 在下图中，这可以解释为，如果α β<180，则这两条线将在下图右边相交。

有许多命题与平行公设 是等价的。 其中一个很常见的说法就是公平公理。 这个公理指出，给定一条直线l和一条不在直线上的点P，存在一条通过该点的唯一直线，与该线平行。 我们可以通过假设平行公设为真来证明这一等价性，并用它来证明公平公理，反之亦然。 根据平行公设,我们可以构造一个独特的通过P点平行于l的直线，然后再通过P点画一条垂直于l 的直线。这必须是独一无二的,因为过P点的其它线其他线会形成一个角不等于90度, 根据平行公设从而将与l相交。 接下来，根据公平公理，我们可以非常类似地证明平行假设。 除了公平定理保证的那条过P 的平行线外，任何其它一条线(如图中的绿线)的垂线一侧的角度之和必须小于180度，并且一定和l相交，因为它不是一条平行线。

由于它比其他公理要复杂得多，所以最后的公设必须加以仔细研究。 在17和18世纪，数学家开始质疑这个公理的正确性，通常被称为第五或平行公设。 在这个问题上最著名的著作之一是1733年由一个叫吉罗拉莫·萨切里的人出版的《欧几里得的一切》。 萨切里用反证法证明了平行公设的矛盾。 不幸的是，他的写作依赖于一些未阐明的假设。 萨奇里是一位著名的逻辑学家和校对员，所以这些错误并不典型。 因此，人们推测萨奇里知道自己的错误，也知道非欧几里得几何的可能性，但可能不愿受到教会的谴责，因为当时教会对维持现状的态度非常强硬，即使是在数学和科学领域。 他的著作提出了一种观点，即平行假设为假的几何是如何存在的。 萨奇里构造了一个底部有两个直角的四边形。 对于他的反证法，他假设另外两个角(顶角)的和不是180度。

在欧几里得平面，三角形内角和是180度，但在非欧几何可能是小于180度或大于180度。接下来我们说明不同的几何空间。

双曲几何

萨奇里的图留下了两种矛盾的可能性。 两个顶角之和，要么大于180，要么小于180。 这种几何结构是通过修改最终假设而形成的，即通过与另一条直线以外的一点，至少有两条不同的直线与其平行。 对于这两条不同的直线，它们之间的所有直线都是平行的，所以有无数条不同的平行线。 这是一个马鞍形的几何图形(就像品客薯片一样)，因为这允许直线以修改后的假设所规定的方式相交。 这种几何结构叫做双曲几何(尽管它与圆锥截面没有直接关系)，而几何结构的表面叫做双曲平面。

双曲几何仍然满足前四个欧几里得定理:两点定义一条线段，线段定义一条线，圆由圆心和半径定义，所有的直角相等。 这些假设的表达可能与我们预期的略有不同，就像圆和线在双曲几何中显现的不同一样。

一个对双曲几何非常有用的模型是彭卡莱（Poincaré）圆盘。 这是双曲平面在单位圆上的投影。 直线被定义为与圆盘的边正交并相交于直角的圆。 当一个人接近圆盘的边缘时，距离会缩小，所以靠近投影中心的物体看起来比靠近边缘的物体大。 由于距离不断缩小，边缘上的点可以想象为离中心无限远的点。 我们可以证明这个模型满足双曲几何的第五个假设:给定一条直线和一条不在直线上的点，我们可以画出多条平行线，如下图所示。

双曲几何中的三角形有一些有趣的性质。 和欧几里得几何一样，三角形是由三个点定义的。 然而，在双曲几何中，角的和总是小于π，这可以通过将萨奇里四边形分成两部分来推断。 在萨奇里四边形中，根据定义，角的和小于2π。 因此，一个直角三角形，将四边形分成两部分后，其内角之和一定小于π。 下面的图形中的三角形都是等边的，但在曲面上的中心有7个经过点P的全等三角形，显然三角形的内角和不是180度。

三角形也可以用无穷远处的点或庞加莱（Poincaré）圆盘的边缘形成。 在这种情况下，这两条线被称为极限平行线，因为它们从不相交，但彼此无限接近。 一个有三个理想顶点的三角形的内角和为0。 下面显示了庞加莱圆盘（Poincaré Disk）上的一个示例。 在双曲几何中，三角形的面积与角度差成正比，角度差即三个内角和与π的差。 在双曲几何中有一个很重要的结论:单位圆的一个角为A、B、C的三角形的面积S=π - A - B - C。

因为A B C=π-S，所以双曲面上的三角形内角和小于180度。

这个定理提供了一些很好的推论，包括π三角形面积的上界，π三角形有三个极限顶点。 下图提供了一个三角形的顶点在无限位置的例子，显然内角和小于180度。

球面几何

回到萨奇里四边形，还有另一种非欧几里得的情况，因为顶点角的和可以大于180度。 这叫做球面几何。 顾名思义，它是球面上的几何图形。 既然线是两点之间最短的距离，在球面几何中，线就是大圆，或者说是球面和通过球面中心的平面的交点。 当欧几里得定理得到验证时，问题就出现了。 在一个球体上，有多条线穿过两个对跖点。 为了解决这个问题，球面几何中的点通常定义为球面上的两个对跖点。 现在，两个点，或者说对映点的集合，定义了一条直线。 当提到“点”时，假设引用了一组对跖点。下图的U,V两点就是一组对跖点（即直径的对点）。

任何两条线或大圆都必须相交。 大圆是平面与球体的交点，通过圆心。 因此，包含每一个大圆的平面必须在原点相交。 两个平面不能相交于一点，它们必须相交于一条直线。 这条线与球面相交的地方在两个大圆上，所以这两条线一定相交。 球面几何中没有平行线。

球面几何有一种特殊的形状，叫做月牙。 它由两条线组成。 这两条线相交于一个对映点集。 我们可以通过考虑以弧度为单位的两条线之间的角度α来计算月牙的面积。 月亮的面积是α/2π(4πr2)，因为α/2π是被覆盖的球体的分数，而4πr2是球体的表面积。 假设是单位球时，月牙面积简化为2α。 月牙的图形如下：

在球面几何中，选择任意三个点可以形成三角形。 连接这些点的三个大圆或线构成了8个三角形; 我们可以选择使用哪个对映点。 所以，这三个点并不是唯一的三角形。8个三角形是包括三边出去又三个，三个顶点出去有三个，两外三角形ABC和其相对的另一面的对等的三角形A’B’C’, 见下图。

由上图可以看到，从A点出发与AB和AC会形成两个月牙，根据前面的结论，每个月牙面积在单位球中为2a, 如果我们考虑由同样的线条组成的相对的另一个月面，它也有面积2a，那么A点的两个月牙面积为4a, 同理从B和C点出发的月牙面积分别是4b, 4c, (a, b, c是弧度角) 。这三个月面加在一起，覆盖了球体加上两个三角形ABC以及两个三角形A ' B ' C '，（即对跖三角形）。 如果让三角形的面积为X，

4a 4 b 4 c = 4π 4 X，

a b c=X π >π

在这个几何中，三角形的内角和严格大于180度，其上限接近540度。 我们可以看到，它的上限一定是540，因为一个凸三角形不可能占据大半个球面，所以它的面积一定小于2π。 用面积公式，a b c一定小于3π。

球面几何在导航和航行中非常有用，因为我们生活在一个球体上。 它最初是由希腊人研究的，在2000多年前托勒密发现地球是圆的之后。 这种几何学被认为是完全独立于欧几里得的几何学，因此是不矛盾的。 最近，航空公司使用球面几何来确定飞行路径，因为穿过大圆的路径最短，效率最高。 这就是为什么从旧金山到迪拜要飞越北极的原因，关于大圆之间是最短距离请参阅两点之间总是直线最短吗？