弧度制中的知识（弧度制的意义）

高一新生刚接触角的弧度制，往往只是将其理解为简单的角的单位，没有关注它的来历和意义，今天我们就来简单聊聊……

要理解弧度制的意义要从三角函数说起。很多人会说，那还不简单，我初中时就学三角函数了。不过，初中时的三角函数主要是从几何角度定义的，没有代数上的函数意义（因为确切的函数概念也是高中才引入）。弧度制的定义其实还关乎数学的底层逻辑。不过，我们先看看高中数学书上是怎么引入弧度制的：

这里的引入确实简单，没有过多的理由，原因仅仅是“为了使用的方便”，这一略显突兀的解释却也道出了弧度制的核心优点，它确实使整个数学世界都变得“方便”。

我们先回忆一下角度制，角度制是将圆周分为360等份，每一份叫一度。由于地球的公转，地球上的我们就像看走马灯一样，在特定的时间看到特定的星座。古人发现了这个规律，并且以星座为参照物，近似观察出循环周期为360天，也就是一年。因此，天就被等分成了360份，也就是圆被等分成了360份，以此创立了角度制衡量角的大小，说的确切一点角度制是从圆周运动的观察者角度出发来定义的。这种角度的衡量标准，在三角函数出现之前是没用必要调整和改变的，弧度制的设置可以说是为三角函数做准备。

而弧度制则是从圆周运动进行者的角度来定义的。古人的世界观是天圆地方，人们的旅行都被视为直线运动。欧式几何里面的直线笔直的延伸到无穷远处。可是，事实是，地球是圆的，随着技术的发展，大航海时代的来临，大家越来越认识到这一点。传统意义上的直线，在地球表面都不复存在，必须重新定义球面距离的含义。弧度制也是在这样的背景下开始萌发。

用单位圆上点的圆周运动引出了弧度。用单位圆上点随半径旋转运动的弧长大小（不包括单位）定义此时圆心角的大小，将这种角衡量标准叫做弧度制。

从弧度的定义可以看出，弧度是一个没有量纲的量（如实数一样） ，因为弧长比半径，长度单位被约掉了（有种相对原子质量的感觉），这里注意rad只是弧度的符号，并不是量纲意义上的单位。

在这种弧度的定义下就将角与实数建立了联系（用数表示角），数和角本是两个独立的概念（一个是几何概念，一个是代数概念）我们用数来衡量角，给角一个标度，就是将角度实数化。弧度就是实数化的角度量化标准。为什么要这样呢，这也是为了三角函数。以正弦为例，正弦的定义是直角三角形中对边与斜边的比值（这是原始定义）

从正弦定义出发我们构建正弦函数y=sinx，正弦函数是以角度为定义域以正弦值为函数值的函数。要知道函数是两个数集之间的一种对应，y=sinx中函数值y是实数，需要将定义域x也扩展为实数，角度制显然不满足这种要求。为将正弦函数的定义域扩展到整个实数，这就修改了正弦的定义（见高中数学任意角的三角函数）：

所以正弦这个本来几何上定义的概念就有了代数意义，正是弧度制使得几何与代数的整合成为可能（弧度制也可以说是在这种几何与代数的整合背景下创立） 弧度制简单来说就是:把180°对应到π，然后三角函数里面的操作就可以都是实数了,以前的sin(90°),cos(30°)就变成sin(π/2),cos(π/6)......"三角函数"也成了真正的函数(角数对应→数数对应），比如正弦函数的图象画出来，横坐标和纵坐标的单位都应该是数（确切的说是实数，使得三角函数的定义域有了数的意义）

那为啥把180°对应到π这个无理数,为啥不找个好点的数来对应呢?说直白点就是为什么用弧长和半径的比值来定义。要将角度实数化（角与实数构建对应），方法应该很多，比如这里有个很好的设计:

把周角对应到1,然后平角就是1/2,直角就是1/4......占几分之几就对应到几分之几,若要取个名字，不如就叫——转角制，这感觉很和谐啊,这方案可行吗?

要知道角度是客观存在的,比如周角,平角,直角...具体数值则是一个度量标准,是可以人为设定的。

所谓的度量标准,其实就是把角度映射到一个数字的规定。不但角度里有度量标准,其他领域也有很多,举个长度方面的例子吧,比如面对一把40米大刀时:

"刀的长度"是客观固定的,然而映射到什么数字,不同的度量标准下就不同,以米为单位,则映射到40，

以英尺为单位,则映射到...,以丈为单位,则映射到...很好理解吧?现在我们看下角度的各个度量标准:

角度制:

把周角映射到360

意义:

方便计算(除以2,3,4,5,6都是整数),

而且常见的角度在100以内,

也方便理解

弧度制:

把周角映射到2π,

意义:

角度对应的单位圆的圆弧长度

转角制:

把周角映射到1,

意义:"部分/整体"的比值

突然觉得"转角制"才是这几个中定义得最自然最完美的,

然而数学家为啥不用呢?

偏偏把角度映射到π这种无穷无尽的无理数上,

这就要牵扯到数学的底层逻辑模块——重要极限

我们先来看看这个极限式的几何意义：

这与弧度制的选取有什么关系？下面做点简单论述:

也就是说"重要极限 sinx/x"的取值被改变了!

你也许会说,

我不在乎,

在我眼里,

只是区区一极限,

变就变,

有啥大不了的?

但是,

重要极限之所以叫做"重要极限",

是有原因的:

如果重要极限的值被改变了,

那么三角函数的求导公式也得变了:

没有对比就没有伤害:

更糟糕的是,

还影响其他模块!

所有依赖三角函数的公式都会变得复杂了

比如:

高阶导数公式,

积分,

泰勒展开

.......

原来使用弧度制的意义是:

这个制度下,公式是相对最简单的

而且三角函数的代数定义是在单位圆中完成的：

所以三角函数又叫圆函数，三角函数注定要和圆周率有关系（π你是扔不掉的），如果不在角的量化定义中引入π，则数学的很多公式都会变得复杂，这是精心选择的结果！

现在你明白为什么说弧度制使整个数学世界都变得“方便”了吧。

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