最简单理解微积分（高等数学之微积分中存在性问题的证明方法总结）

微积分中存在性问题的证明问题涉及闭区间上连续函数的性质，微分中值定理，积分中值定理和泰勒公式，是历年考试的重点，一定要熟练掌握。这一问题的突破点是选择正确的解题思路并合理构造辅助函数。

证明思路：

（1） 设函数f（x）在区间[a,b]上连续，条件中不涉及到导数和微分，证明存在一点ξϵ[a,b]，使得f(ξ)=c，这种情况一般使用介值定理或根的存在性定理。

（2）设函数f（x）在区间[a,b]上连续，在（a,b)上可导，证明存在一点ξϵ[a,b]，使得结论中包含ξ和一阶导数的等式成立，一般用中值定理。

（3）设函数f（x）在区间[a,b]上连续，在（a,b)上二阶可微，证明存在一点ξϵ[a,b]，使得结论中包含ξ和二阶导数的等式成立，一般用三次使用中值定理或泰勒公式。

（4）设函数f（x）在区间[a,b]上连续，在（a,b)上三次（或以上）可导，证明存在一点ξϵ[a,b]，使得结论中包含ξ和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。

（5）条件中包含积分等式时，首先要积分中值定理处理，得到f(c)=f(ξ)，作为其它证明的条件。

分析：本题条件中不涉及可到和可微，所以本题可以考虑使用介值定理证明。

f(a ξ)=f(ξ)→f(a ξ)-f(ξ)=0→f(a x)-f(x)=0

解：

备注：关键在于构造辅助函数

例2：

分析：本题的难点在于构造辅助函数，可作如下分析：

证明：

备注：注意辅助函数构造的方法。