小学生如何证明三角形的内角和是180度,这在奥苏伯尔（李永乐老师的例证法真的证明了三角形内角和等于180吗）

最近看到著名的教育领域创作者李永乐老师做了一期视频，视频开头李永乐老师说有个小朋友在证明三角形的内角和等于180度时，举例等腰直角三角形和正三角形的内角和等于180度之后，说证明完毕，被老师说错误，但是李永乐老师说他是对的。

这个视频引起了他跟另外一位知名学者王小东的网络骂战。我怀着好奇心看完了李永乐老师的证明过程，他用了一个叫例证法的东西。

什么叫例证法呢，具体可以去看李永乐老师的视频，其实就是用了两个定理：

（1） 定理一：若f（x）是关于x的不超过n次的多项式，要证明f（x）=0是个恒等式，只需要找出n 1个满足条件的x即可证明。

（2） 定理二：若函数f（x1，x2，……xk）是关于x1，x2……xk的函数，各个变量的最高次分别是n1，n2，……nk，则要证明f（x1，x2，……xk）=0是个恒等式的话，只需要找出（n1 1）（n2 2）……（nk 1）个例子即可。

对于以上两个定理，没有疑问，是正确的。

以上是引理，在引出上面两个定理之后，李老师开始了他的正式证明过程。

首先，构建平面直角坐标系，把三角形ABC的边AB放在x轴上，并且把A点作为原点，AB的长度设为单位长度1，C点变量，三点坐标分别是A（0，0）、B（1，0）、C（x，y）。取BC中点M，连接AM并延长到D，使AM=MD，连接CD；取AC中点N，连接BN并延长到E，使BN=NE，连接CE。这样通过构建全等三角形的方法，把证明三角形内角和等于180度，变成了证明E、C、D三点共线。

设D（x1，y1），E（x2，y2），那么要证明三点共线，变成了要证明

（y1-y）/（x1-x）=（y-y2）/（x-x2）是个恒等式

变形一下，就是要证明：

（x-x2）（y1-y）-（y-y2）（x1-x）=0 （*）是个恒等式。

由于M是BC中点，所以M点横坐标xm=1/2（x 1），纵坐标ym=1/2（y 0）；

由于M也是AD的中点，所以x1=2xm，y1=2ym，

所以因变量x1是关于x的一次函数，y1是关于y的一次函数；

同理，x2是关于x的一次函数，y2是关于y的一次函数。

所以，要证明的恒等式是关于x和y的二元一次函数，根据前面的引理，要证明这个等式是个恒等式，只需要找出2*2=4个例子就可以。

然后李永乐老师举了四个例子：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）

用着四个特殊的例子，来证明了满足条件，所以是恒等式，证明完毕。

以上证明是有问题的，为什么呢？

我们来直接来看李永乐老师举的这四个例子吧。

一、点（0，0）跟（1，0），李永乐老师说这两个分别跟A点和B点重合，所以，“显然满足”。其实，李永乐老师一笔带过的这两点，“显然不满足”！

为什么呢？一个函数，基本的要素之一是要有定义域。在这个函数中，y的取值，一定不能等于0，否则，C点跟AB在一条直线上，这根本不是一个三角形。不能构成三角形的两个点，怎么能用来证明三角形内角和等于180度呢？

所以，这两个点，不能用。这属于定义域没搞清楚。

二、对于点（0，1）和点（1，1），李永乐老师说，显然这个时候构成的是等腰直角三角形，等腰直角三角形的内角和是180度，所以，满足条件。

朋友们，看上去是不是很无懈可击？是的，我们都知道，等腰直角三角形内角和等于180度，好像没毛病吧？可是，你们有没有想过，真的能这么用吗？

等腰直角三角形，给我们的条件就两个，一个是等腰，一个是直角。翻译过来就是，顶角是90，两个底角相等，没了。

有的朋友直接条件反射，两个底角就是45度啊。是的，你知道得很多，你还知道三角形的内角和等于180度呢，直接不用证明了，拍拍手回家可好？

等腰直角三角形的两个底角等于45度，是从三角形的内角和等于180度算出来的！是用（180-90）/2算出来的，没有三角形内角和等于180度这个大前提的话，我们并不能从等腰直角三角形这个条件知道两个底角的是45度的，我们只知道顶角等于90度，两个底角相等，再多一点信息都没有了。

李永乐老师这是在用要证明的结论，反过来作为证据证明结论了！

等腰直角三角形的底角等于45度，这个不是公理，不是定理，不是定义，是计算结果，是以三角形内角和等于180度作为前提计算出来的结果。

综上，李永乐老师举例的这四个点，没有一个能证明结论的！

三、你在哪里被带偏了？

朋友们，看过那个视频的朋友，看到这里有没有发现，你被带偏了。

请跳出以上举例的这四个点的框框，你们是不是忘记了李永乐老师要证明的是什么了？

他是要用例证法，举出四个例证，证明上面的（*）式是个恒等式。

什么意思呢，意思是，这四个点的坐标要代入（*）式去，得出等式成立的结果，才能证明等式是个恒等式。可是，你们发现没有，李永乐老师根本没有一次把以上四个点中的任意一个的坐标代入他弄出来的这个（*）式去进行哪怕一次计算！

发现了吗？我们被他偷换概念了，他根本没有去用他在这个视频中推崇的例证去法证明这个（*）式是个恒等式！

从他列完他那个（*）式之后，之后列举例子的所谓证明过程，就跟那个式子半毛钱关系都没有了，完全用你潜意识当中已经存有的概念，让你自己脑补，觉得他说的是对的。朋友，这是数学证明吗？

他只是偷换了个概念，列举了一堆公式，然后夹带了四个特殊点，有两个点不能组成三角形，另外两个点用我们所知道的常识（等腰直角三角形的两个底角都是45度），来让我们在潜意识里认同他要的结果，而这个常识是他所需要证明的结果推导出来的。什么意思呢？意思就是，实际上，他什么都没证明！

是的，你没看错，关于三角形内角和等于180这个问题，李永乐没有去证明，他只是用一个长长的视频，成功让你忘记了他要干什么。

看完视频之后，你会发现他给你安利了例证法，可是，他没有用到例证法来证明。意不意外？

四、那，问题在哪？

问题就在于，他根本没办法用例证法举例来证明（*）式是个恒等式。

那么，（*）是个恒等式吗？

是的，而且一定是。证明很简单，把C点跟D点的坐标求出来就是了。

我们用李永乐老师没算完的东西算一下就会发现

x1=x 1，y1=y

x2=x-1，y2=y

把这个代入（*）式，显然直接成立，化简之后就是0=0了，根本不用例证。

你举什么例证都很难去证明，可是你不用例证，好好去稍微做个计算就会发现，咿，算一下就成立了。

而且，更细心的你有没有发现，y1=y2=y，什么意思呢？C、D、E三点的纵坐标相等，也就是说，三点在同一条平行于x轴的直线上。再翻译一下，就是说，我们根本不用去计算那个（*）是不是恒等式，直接计算出C、D两点的纵坐标就知道三点共线了。意不意外，惊不惊喜？

五、证明过程到底是给什么人看的

这个证明过程，开篇是说小朋友要证明三角形内角和等于180度，需要证明这个的，大概就是初中生吧，高中应该不会有老师要学生证明这个。

那么，这个视频用到了什么知识呢？那两个定理在大学之前应该没人见过，三角形全等是初中的内容，平角直角坐标系妥妥的高中知识了。提出问题的是初中生，如果也是个初中生来看这个视频，他看了之后，能发现李永乐老师这个视频的这些问题吗？会不会拿着这个视频就回去跟老师吵呢？

最后，我想说点什么。李永乐老师是个优秀的老师，在互联网世界对小孩子的影响力是巨大的，他说一句小孩子没错，可能孩子们就会认为自己就是对的了。可是，他的这个证明，却实实在在什么都没证明。作为一个有影响力的教育领域创作者，还是要更多对自己发布的东西负责的，话真的不能乱说。

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