中考数学几何综合题的巧思妙解（中考数学动态几何探究）

以三角形、四边形为背景的动态几何问题均以动态几何的形式来考查三角形、四边形的性质，

判定，全等三角形、相似三角形的性质及判定，本节将对此类问题归类如下：

一、在平面直角坐标系中探究

【例题1】已知直线 l 经过 A（6,0）和 B（0,12）两点，且与直线 y = x 交于点 C.

（1）求直线 l 的表达式；

（2）若点 P（x，0）在线段 OA 上运动，过点 P 作 l 的平行线交直线 y = x 于点 D，

① 求 △PCD 的面积 S 与 x 的函数关系式；

② S 有最大值吗？若有，求出当 S 最大时 x 的值 .

【解析】

（1）设直线 l 的表达式为 y = kx b , 用待定系数法求出 k , b 的值即可；

（2）

① 点 C 是直线 l 与 y = x 的交点，从而可求得点 C 的坐标 .

根据三角形的面积公式及结合平行的性质，可求得 S 与 x 的函数关系式；

② 根据二次函数的性质，即可得到 S 的最大值 .

解：

（1）设直线 l 的表达式为 y = kx b ,

由 A（6,0）和 B（0,12），得

∴ 直线 l 的表达式为 y = -2x 12 .

（2）

①

∴ 点 C 的坐标为（4,4），

∴ S△COP = 1/2 x ▪ 4 = 2x .

∵ PD∥直线 l ,

∴ CD/OC = AP/OA .

∵ CD/OC = ( 1/2 h × CD ) / ( 1/2 h × OC ) = S / S△COP，

∴ S / S△COP = AP / OA , 即 S / 2x = （6 - x）/ 6 ,

∴ △PCD 的面积 S 与 x 的函数关系式为 S = -1/3 x^2 2x .

② ∵ S = -1/3 （x - 3）^2 3 ,

∴ 当 S 最大时，x = 3 .

【例题2】如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A , C 均在坐标轴上，且 OA = 4 ,

OC = 3 , 动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 AO 向终点 O 移动；

动点 N 从点 C 出发沿 CB 向终点 B 以同样的速度移动，当两个动点运动了 x 秒（0 < x < 4）时，

过点 N 作 NP⊥BC 交 OB 于点 P，连接 MP .

（1） 直接写出点 B 的坐标，并求出点 P 的坐标（用含 x 的式子表示）；

（2）当 x 为何值时，△OMP 的面积最大？并求出最大值 .

解：

（1）在矩形 OABC 中，OA = 4 , OC = 3 ,

∴ B 点的坐标为（4,3）.

如图，延长 NP 交 OA 于点 G，则 PG∥AB，OG = CN = x .

∵ PG∥AB，

∴ △OPG∽△OBA .

∴ PG / BA = OG / OA , 即 PG / 3 = x / 4 ,

解得 PG = 3/4 x .

∴ 点 P 的坐标为（x , 3/4 x）.

（2）设 △OMP 的面积为 S .

在 △OMP 中，OM = 4 - x , OM 边上的高为 3/4 x，

∴ S 与 x 之间的函数表达式为

配方，得

∴ 当 x = 2 时，S 有最大值，最大值为 3/2 .

二、在几何图形中探究

【例题3】如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3 米，BC = 4 米，动点 P 以 2 米/秒的速度从点 A 出发，

沿 AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1 米/秒的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，

设 P , Q 两点同时移动的时间为 t 秒（0 < t < 2.5）.

（1）当 t 为何值时，PQ∥AB；

（2）设四边形 ABQP 的面积为 y , 当 t 为何值时，y 的值最小？并求出这个最小值 .

【解析】

（1）首先由勾股定理求得 AC = 5 米，然后根据 AB∥PQ 可得到 PC / AC = QC / BC ,

从而得到关于 t 的方程，从而可解得 t 的值；

（2）过点 P 作 PE⊥BC，由 PE∥AB 可得到 PC / AC = PE / AB ,

从而可求得 PE = 3 - 6/5 t , 然后根据 y = S△ABC - S△PQC 列出 t 与 y 的函数关系式，

最后利用配方法求得最小值即可 .

解：

（1）在 Rt△ABC 中，

由题意，得 PC = AC - AP = 5 - 2t , QC = t .

如图 ①，∵ AB∥PQ , ∴ △CPQ∽△CAB .

∴ PC / AC = QC / BC , 即 （5 - 2t）/ 5 = t / 4 ,

解得 t = 20/13 .

（2）如图 ②，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E .

由 （1）知，PC = 5 - 2t , QC = t ,

∵ PE∥AB，

∴ △CPE∽△CAB .

∴ PC / AC = PE / AB , 即 （5 - 2t）/ 5 = PE / 3 .

∴ PE = 3 - 6/5 t .

∴ 当 t = 5/4 时，y 的值最小，最小值为 81/16 .

【例题4】如图，在 △ABC 中，∠C = 60°，BC = 4，AC = 2√3，点 P 在 BC 边上运动，

PD∥AB，交 AC 于 D . 设 BP 的长为 x , △APD 的面积为 y .

（1）求 AD 的长（用含 x 的代数式表示）；

（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并回答当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

（3）是否存在这样的点 P，使得 △ADP 的面积是 △ABP 面积的 2/3 ？若存在，请求出 BP 的长；

若不存在，请说明理由 .

解：

（1）∵ PD∥AB，

∴ AD / AC = BP / BC .

∵ BC = 4 , AC = 2√3 , BP = x ,

∴ AD / 2√3 = x / 4 ,

∴ AD = √3/2 x .

（2）过点 P 作 PE⊥AC 于 E .

∵ sin∠ACB = PE / PC , ∠C = 60°，

∴ PE = PC × sin60° = √3/2（4 - x ）.

∴ y 与 x 之间的函数关系式为

∴ 当 x = 2 时，y 的值最大，最大值是 3/2 .

（3）存在这样的点 P .

∵ △ADP 与 △ABP 等高不等底，

∴ S△ADP / S△ABP = DP / AB .

∵ △ADP 的面积是 △ABP 面积的 2/3 ,

∴ S△ADP / S△ABP = 2/3 ，

∴ DP / AB = 2/3 .

∵ PD∥AB，

∴ △CDP∽△CAB .

∴ DP / AB = CP / CB ,

∴ CP / CB = 2/3 .

∴ （4 - x）/ 4 = 2/3 ,

∴ x = 4/3 ,

∴ BP = 4/3 .

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