孪生素数研究进展（新理论-诠释孪生素数分布哥德巴赫猜想等相关问题.）

素数分布之道(原创彭秋年)关键词：能量参照法、素数分布新论.，下面我们就来聊聊关于孪生素数研究进展?接下来我们就一起去了解一下吧!

孪生素数研究进展

素数分布之道(原创彭秋年)

关键词：能量参照法、素数分布新论.

㈠、创建能量参照法生成素数分布新论.

首先陈述素数定理：如果以q表示自然数s范围内的素数数量，则q=s/㏑s. (s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算更精确)

当s足够大时，显然满足：

(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集.且令：s范围内，集合X中大于2的元素依次是x₁，x₂…xₙ；定义s范围内集合X中元素的能量和为e=1/㏑x₁ 1/㏑x₂… 1/㏑xₙ.

则有：s范围内，集合N中元素的能量和e、素数数量q均接近于s/㏑s，即q=e=s/㏑s.

以集合X={x|x=3a-2,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X、N中与pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、zᵢ. (i∈N,p₀=2,i>0时,pᵢ表示第i个奇素数)

则有：i=1时，y₁=1，z₁=2/3； i≠1时，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；集合X、N中与p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ.

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：r₀=1；i>0时，rᵢ=1/(2/3)=3/2.

分析整理：s范围内集合X中的元素相对于集合N中的元素成为素数的能力强度其参照值是r=3/2；简述为集合X存在参照常数r=3/2.

且令：s范围内集合X中元素的能量和为e.

则有：e=s/(3㏑s).

分析整理：s范围内集合X中的素数数量q等于e、r的乘积，即q=er=s/(2㏑s).

综上所述，以此类推：

且令：X={x|x=pa-y,(a∈N)}. (p为素数；y=1,2…p-1)

则有：p、y确定时，s范围内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].

且令：P={全体奇素数}；P₀=P∩X.

则有：s范围内集合P₀、P中元素数量分布之比为1/(p-1).

定义：使用能量和e与参照值r的概念对素数分布进行分析探讨的方法称为能量参照法.

谨将素数定理与能量参照法结合生成素数分布新论如下：

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集；集合X中与pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、y₀y₁…yᵢ. (i∈N)

且令：

zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

如果存在n使得：i＞n，所有的rᵢ都接近于r；则称集合X存在参照常数r.

且令：s范围内集合X中元素的能量和为e，素数元素的数量为q. (s足够大)

则有：q=er.

㈡、探讨各种奇素数组合的分布状态.

谨将奇素数组合分为两种类型.

类型一、非动态素数链.

如果序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以某个奇素数p，所得互异的正整数余数为1,2…p-1.

(uᵢ为正偶数,i=1,2…n)

且令：序列A={a，a u₁，a u₁ u₂，… a u₁ u₂… uₙ}. (a为奇素数)

则有：序列A中至少有一个数能够被p整除.

当序列A中的元素均为素数时，则称其为加u₁加u₂…加uₙ型素数链(或非动态素数链).

序列A中的元素包含p时才有可能均为素数，使得序列A能够包含p的a值数量有限.

因此，任一型号的非动态素数链数量有限.

类型二、动态素数链.

如果序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

(uᵢ为正偶数,i=1,2…n)

且令：序列A={a，a u₁，a u₁ u₂，… a u₁ u₂… uₙ}. (a为奇素数)

当序列A中的元素均为素数时，则称其为加u₁加u₂…加uₙ型素数链(或动态素数链).

且令：a，a a₁，a a₂，…a aₙ₋₁均为素数. (2≤n＜a，2≤a₁＜a₂…＜aₙ₋₁)

则有：a₁，a₂，…aₙ₋₁除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

故a，a a₁，a a₂，…a aₙ₋₁是动态素数链.

由此可知：任意n(n≥2)个互异且大于n的奇素数均可组成一条长度为n的动态素数链，几乎所有的奇素数组合都属于动态素数链.

接下来以序列A={5,7,11,13}为例探讨各种动态素数链的分布状态.

序列A={5,7,11,13}中相邻素数的间距依次是u₁=2，u₂=4，u₃=2.

且令：P={全体奇素数}；

Qᵢ={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)

且令：Rᵢ=P∩Qᵢ；S₁=R₁∩R₃；

S₂=R₂∩R₃；S₃=R₁∩R₄；

S₄=R₃∩R₄；T=R₁∩R₃∩R₄.

则有：R₁={3,5,11…}；R₂={3,7,13…}；

R₃={5,7,11…}；R₄={3,5,11…}；

S₁={5,11,17…}；S₂={7,13,37…}；

S₃={3,5,11…}；S₄={5,11,23…}；

T={5,11,101…}.

[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)分别由全体加2i型素数链的第一个元素组成；集合S₁、S₂、S₃、S₄分别由全体加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素数链的第一个元素组成；集合T由全体加2加4加2型素数链的第一个元素组成]

已知：s范围内素数的分布密度是1/㏑s.

因此，s范围内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同样是1/㏑s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s范围内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑²s.

已知集合Q₁={x|x=a-2,(a∈P)}={1,3,5…}.

且令：集合Q₁中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有：y₀=1；i>0时，yᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1).

且令：

zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则，

rᵢ={(1/2)(3/4)(5/6)…[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}可化为式B与式B'如下：

式B、

rᵢ=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}[pᵢ/(pᵢ-1)].

式B'、

rᵢ=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][pᵢ/(pᵢ-1)]}.

式B中 pᵢ/(pᵢ-1)＞1；

[(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ₋₁/(pₘ₋₁-1)]＞1.

(m=2,3…i)

因此，

rᵢ＞[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

式B'中 [(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ/(pₘ-1)]＜1. (m=2,3…i)

因此，rᵢ＜(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p₍ᵢ₋₁₎-2)/(p₍ᵢ₋₁₎-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

经计算，rᵢ=2,1.5,1.406,1.367,1.354…

当i=253时，1.3196＜rᵢ＜1.3204；随着i的不断增大，rᵢ→1.3203236…

因此，rᵢ→1.320(精确到千分位)；即，集合Q₁存在参照常数r=1.32.

因此，s范围内集合Q₁中素数数量分布的计算公式是q=er=1.32s/㏑²s.

同理可证：集合Q₂，Q₃，Q₄的参照常数依次是1.32，2.64，1.32.

因此，s范围内加u(u=2,4,6,8)型素数链[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)中元素]数量分布的计算公式依次是1.32s/㏑²s，1.32s/㏑²s，2.64s/㏑²s，1.32s/㏑²s.

且令：X={x|x=pa-y,(a∈N)}；P₁=X∩R₁.

(p为素数,y∈N,0＜y＜p；p＞2时,y≠2)

则有：p、y确定时，s范围内集合P₁、R₁中的元素数量分布之比为1/(p-2).

(p=2时,用1代替p-2)

且令：

R₁'={x|x=a 6,(a∈R₁)}={9,11,17…}.

已知：s范围内集合R₁中元素的分布密度是1.32/㏑²s. 因此，s范围内集合R₁'中元素的分布密度同样是1.32/㏑²s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s范围内集合R₁'中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1.32/㏑²s)=1.32s/㏑³s.

且令：集合R₁'中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有：

y₀=1,y₁=1；i＞1时,yᵢ=(pᵢ-3)/(pᵢ-2).

且令：

zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

经计算，rᵢ→2.165(精确到千分位).

即，集合R₁'存在参照常数r=2.165.

因此，s范围内集合R₁'中素数数量分布的计算公式是q=er=2.86s/㏑³s；即，s范围内加2加4型素数链(集合S₁中元素)数量分布的计算公式是2.86s/㏑³s.

同理可证：s范围内加4加2、加2加6、加6加2型素数链(集合S₂、S₃、S₄中元素)数量分布的计算公式都是2.86s/㏑³s.

且令：X={x|x=pa-y,(a∈N)}；P₂=X∩S₁.

(p为素数,y∈N,0＜y＜p；p=3时,y≠2；p=5时,y≠1,2；p＞5时,y≠2,6)

则有：p、y确定时，s范围内集合P₂、S₁中的元素数量分布之比为1/(p-3).

(p=2,3时,用1代替p-3)

关于rᵢ的计算谨作论述C(标识C备用)：

在计算rᵢ→1.32(n=1)及rᵢ→2.165(n=2)的过程中发现，n为任意正整数时，rᵢ={…[(pᵢ-n-1)/(pᵢ-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}都能够类似地化为两个式子，且使得：一个式子里面从某一项开始，后面连续相乘的各项均趋近1且不小于1；另一个式子里面从某一项开始，后面连续相乘的各项均趋近1且不大于1.

因此，n为任意正整数，rᵢ都将趋近于常数.

且令：

S₁'={x|x=a 8,(a∈S₁)}={13,19,25…}.

经计算，集合S₁'存在参照常数r=1.451.

已知：s范围内集合S₁中元素的分布密度是2.86/㏑³s. 因此，s范围内集合S₁'中元素的分布密度同样是2.86/㏑³s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s范围内集合S₁'中元素的能量和为 e=(s/㏑s)(2.86/㏑³s)=2.86s/㏑⁴s.

因此，s范围内集合S₁'中素数数量分布的计算公式是q=er=4.15s/㏑⁴s；即，s范围内加2加4加2型素数链(集合T中元素)数量分布的计算公式是4.15s/㏑⁴s.

且令：X={x|x=pa-y,(a∈N)}；P₃=X∩T.

(p为素数,y∈N,0＜y＜p；p=3时,y≠2；p=5时,y≠1,2,3；p=7时,y≠1,2,6；p＞7时,y≠2,6,8)

则有：p、y确定时，s范围内集合P₃、T中的元素数量分布之比为1/(p-4).

(p=2,3时,用1代替p-4)

关于公式系数(例4.15)的计算谨作论述C'：

且令：序列U={u₁，u₁ u₂，u₁ u₂ u₃}中的元素(即2,6,8)除以素数pₓ，所得互异的正整数余数为tₓ个. (x=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)； b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

则有：m足够大时，

ab³/d⁴=1.32*2.165*1.451=4.15.

综上所述，以此类推：

如果序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

(uᵢ为正偶数,i=1,2…n)

则有：s范围内加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链数量分布的计算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

综合论述C、C'，系数cₙ的计算方法如下：

且令：序列U中的元素除以素数pₓ，所得互异的正整数余数为tₓ个. (x=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)；b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

则有：m足够大时，

cₙ=abⁿ/dⁿ⁺¹=n个常数之积=常数.

当㏑s＞n 1时，cₙs/㏑ⁿ⁺¹s是一个增函数，其值域为无穷大；因此，加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链存在无穷多条.

继续探讨

经分析整理，n为正整数，可得以下结论：

1、s范围内加2加4…加2n型动态素数链数量分布的计算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

2、s范围内连续n个加u型动态素数链数量分布的计算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s. (假设与偶数u互素的最小素数为p,n≤p-2)

3、s范围内加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链数量分布的计算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

[uₐ=mᵃ(m-1),(m-1为正整数,a=1,2…n)]

4、假设区间[n,2n)(n＞2)内存在t个素数，则该t个素数是一条长度为t的动态素数链；假设任意连续的n个自然数中，最长的动态素数链包含y个素数；n确定时，理论上能够通过有限个步骤的计算得到确定的t、y(且t≤y).

5、如果素数链的第一个元素小于s，则定义该素数链在s范围内；当n确定、s足够大时，(n 1)s范围内每s个连续的自然数中接近存在s/㏑s个素数；因此，s范围内加u₁加u₂…加uₙ(uᵢ≤s,i=1,2…n)型动态素数链的数量总和接近于(s/㏑s)ⁿ⁺¹；因此，这些素数链数量分布的计算公式的系数总和接近于sⁿ.

[依据系数cₙ的取值规律同样可证(略)]

关于动态素数链伸展性与对称性的简论.

且令：序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以素数p，所得互异的正整数余数为a个；序列V={mu₁，m(u₁ u₂)，…m(u₁ u₂… uₙ)}. (n、m均为正整数)

则有：m被p整除时，序列V中的元素均被p整除；m与p互素时，序列V中的元素除以素数p，所得互异的正整数余数同样为a个.

且令：序列W={uₙ，uₙ uₙ₋₁，… uₙ uₙ₋₁… u₁}；序列U中的元素除以素数p，所得余数依次组成序列X={x₁，x₂，…xₙ}；序列W中的元素除以素数p所得余数依次组成序列K={k₁，k₂，…kₙ}.

则有：xₙ=kₙ；(xᵢ kₙ₋ᵢ)除以p得到余数xₙ. (i=1,2…n-1)

因此，序列X、K中互异的正整数数量相等.

综合而论，动态素数链存在以下基本性质：

任一型号的动态素数链在自然数中的分布具有无穷性、谐和性、伸展性、对称性.

无穷性是指任一型号的动态素数链其数量都是无穷的.

谐和性是指任一型号的动态素数链都对应一个公式，其数量的分布状态接近于该公式的增长趋势. 同时存在更深层次的谐和性，且令全体加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链的第一个元素组成集合P'；u₁、u₁ u₂、… u₁ u₂… uₙ除以素数p所得余数为bᵢ(i=1,2…n)，存在k个正整数y满足：y＜p，y≠bᵢ；X={x|x=pa-y,(a∈N)}；Pₙ=P'∩X；当p、y确定时，s范围内集合Pₙ、P'中元素数量分布之比为1/k.

伸展性是指将任一型号的动态素数链其相邻素数的间距统一放大到m(m为正整数)倍，即可得到m倍间距型号的动态素数链，s范围内两者数量分布之比为常数.

对称性是指对于任一型号的动态素数链，都将存在与其相邻素数的间距对称的动态素数链，s范围内两者数量分布之比为1.

㈢、探讨偶数u的素数分解对的分布问题.

且令：u(u>1000)为偶数；√u范围内存在m个奇素数；X={x|x=u-a,(a∈P,a＜u)}.

且令：集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ；zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ). (i=0,1…m)

则可推出rᵢ→r；u=2ⁿ(n∈N)时，r=1.32；u存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时，

r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)].

每个偶数u都对应一个参照常数r.

经分析，s(s≤u/2,s的下限＜＜u/2)范围内集合X中元素的分布密度是1/㏑u.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s范围内集合X中元素的能量和为e=s/(㏑s㏑u).

因此，s范围内使得a、u-a均为素数的a值数量分布的计算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).{偶数u＞1000,s≤u/2,s的下限＜＜u/2；u=2ⁿ(n∈N)时,r=1.32；u存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时，r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]}

当s=u/2时，可得偶数u的素数分解对数量的计算公式是rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑²u).

(u较小时,用㏑u-1.08代替㏑u计算)

依据该公式判断哥德巴赫猜想成立.

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