三角形全等的判定辅助线（证明三角形全等常作的辅助线）

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法SSS SAS ASA AAS HL中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果找到了一组对应边，再找第二组条件，若又找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”.

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．

1．截长补短法

1 .如图，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E.

求证：AB BE=AC．

解法1:（补短法或补全法）延长AB至F 使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45°，∴BF=BE，∴AB BE=AB BF=AF=AC．

解法2:（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE.∵∠ACE=45°,∴CG=EG,∴AB BE=AG CG=AC．

2．旋转法

对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。

2.如图所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，并且AF平分∠EAD，求证：BF DF=AE.

分析：本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起.可将△ADF绕点A旋转90°到△ABG，则△ADF≌△ABG，BG=DF，从而将BE BG转为线段GE，再进一步证明GE=AE即可.

3．平移法

若题设中含有中点可以过中点作平行线或中位线，对直角三角形,有时可作出斜边上的中线．

例2 在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB BP=BQ AQ．

证明：如图，过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°.∵∠AQO=∠C ∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO.∵∠DAO=∠QAO，OA=OA，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ.∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB.∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD.∵∠BPO=∠PAC ∠PCA=30° 40°=70°，∠BOP=∠BAO ∠ABO=30° 40°=70°，∴BP=BO.

∴AB BP=AD DB BP=AQ OQ BO=AQ BQ．

4．翻转法

若题设中含有垂线、角平分线等条件，可以试着用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．

例4 如图,已知：在△ABC中，∠BAC=45°, AD⊥BC，若BD=3，DC=2，求△ABC的面积．

解：以AB为轴将△ABD翻转180°，得到与它全等的 △ABE，以AC为轴将△ADC翻转180°，得到与它全等的 △AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG=x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3） （x-2）=5． 解得x=6，则AD=6，∴S_△ABC=×5×6=15．