高考数学最后一道大题第一问解法(高考数学中一件神奇的事情)
#创作挑战赛#
2022年新高考数学全国卷II的立体几何单选题,是一道关于三棱台和球体的问题:
已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为3√3和4√3, 其顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为
A. 100π; B. 128π; C. 144π; D. 192π.
分析:如果忽略数据,这里其实是有两种情形的。一种情形是三棱台的两个底面分布在球心的上下两侧,如下图:
另一种是两个底面都在球心的上方。
在没有得到答案之前,无法直接明确到底属于哪一种情形。因此我们先分析第一种情形。观察图形,可以发现,这道题可以利用OM OM'等于三棱台的高来解决,所以需要求得CM,和C'M',就可以在OM和OM'各自所在的直角三角形中,运用勾股定理,把它们都表示出来。从而列得一个关于球体半径R的方程。解方程,得到R的值,自然能求球体的表面积了。
为此老黄把三棱台的上底面放在平面上分析。如下图:
图中点M是正三角形ABC的中心,CM就等于正三角形边长除以根号3,这个关系可以让你更快速地解决问题,求得CM=3.
我们不需要从下底面求C'M',只需要利用正三角形相似的原理,就可以求得C'M'等于相似比乘以CM,结果等于4。
现在就可以在直角三角形OC'M'中运用勾股定理,用含半径R的式子表示OM'了,同理也可以表示出OM。
列它们的和等于三棱台的高,也就是等于1,得到一个关于R的方程。结合球体的表面积公式。以及四个选项中,可以发现最小的R^2在A选项,等于25,但把R^2等于25代入上式,结果不等于1,而是等于7,所以这种情形是不正确的。
只好换成第二种情形,两个底面都在球心O的上方来探究。
此时OM-OM'才等于三棱台的高。结合球体的表面积公式,可以不必解上面的方程,直接检验四个选项,就可以知道,A选项的确是正确的。事实上BCD选项都不需要检验。不过都检验一下,会比较妥当。
现在回过头来看看,第一种情形真的解不出答案来吗?我们对方程两边同时平方,然后移项合并同类式,使等式的一侧只有一个根式,再同时平方,化简,也可求得,R^2=25。
最后利用球体的平面积公式,也是可以得到答案的。
无疑,R^2=25是后面这个方程的增根,然而在这种问题中,增根往往就是实际问题的答案,这真是一件非常神奇的事情。因此如果不是解答题,只是选择或填空,我们可能并不需要分成两种情形去探究。就算选错了情形,得到的增根也会是实际问题的答案。这是为什么,你能明白其中的道理吗?
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