孪生素数猜想证明集锦（孙氏孪生素数表）

孪生素数猜想证明集锦

孪生素数猜想是数论中尚未解决的著名难题。这道难题的产生时间久远独特而神秘，早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里德在创建箅术基本定理和素数有无穷多个的理论时，就意识到孪生素数的存在性。两千多年来孪生素数是否有无穷多的问题，就一直困扰着历代数学大师的思维，特别在19世纪末享誉世界的数学大师希尔伯特在国际数学家大会上，把孪生素数猜想同哥德巴赫猜想、黎曼猜想三大难题捆绑为“素数问题"列为23个数学问题中的第8问，更增添了孪生素数猜想的知名度和神秘感。一百多年过去了，希尔伯特提出的23个数学问题几乎都获得了解决，唯有第8问依旧岿然不动，孪生素数猜想也就成了数学领域中一颗难啃的"骨头"。

孪生素数问题作为“猜想”提出来，数学家们认为应追溯到1849年，法国数学家波利尼亚克提出了一个更一般的猜想：对所有的自然数N存在有无穷多个素数m，对于m 2N也是素数，当N=1时的情况就称为孪生素数猜想。数学家们都相信这个猜想是成立的，但至今无法证明。1921年美国数学家戈弗雷--哈代和约翰--李特尔伍德提出了一个纯孪生素数猜想，这一猜想不仅提出了孪生素数有无穷多对，而且还提出了一个渐近分布形式。1986年中国数学家陈景润用加权筛法证明了有无穷个素数m，使得m 2要么是素数，要么是两个素数的积，由于筛法的局限性，这一结果很难得到突破。2013年5月张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，他发现存在有无穷多个素数之差小于7000万，世界数学家联手围攻，不断改进张益唐的证明，由7000万下降到了246，人们再也无法往前推进，孪生素数猜想的彻底破解终究成了一场泡影！

为什么人类二千多年都解不开孪生素数的历史谜团？为什么历代数论学家都找不到一种算法程序计算出无穷无尽的孪生素数？孪生素数果真会随着数域的扩大而越来越稀越来越少吗？为什么几千年来人们对素数研究一无所获而停滞不前？人类对素数研究的“通病"“短板和瓶颈"究竟在哪里？是否走进了“误区"和“黑洞"？我们如何根治“通病"，补齐“短板"，实破"瓶颈"？破解这一困扰人类思维的千古难题！

自古以来，人们总习惯于在混沌的自然数N内研究素数个数，讨论素数分布密度，这种习性一直延续到近、现代，著名的素数定理、黎曼猜想以及世界上许多流传甚广的大部头数学专著都是在混沌的自然数N内讨论素数个数，从而获得越来越大数域内的素数分布密度，这是人类硏究素数的头号“通病"。因为混沌的自然数N内並不是生成素数的“源头"，自然数中除“0.1”以外所有的合数和自然数都是素数构成的。应当说“是素数生成了多少自然数？"而不是“自然数N内产生了多少素数？"在自然数N内研究素数个数及其分布密度，违背了"是素数生成合数和自然数的基本规律和运行规则”，违背了欧几里得“素数是构成自然数的基本材料”的算术基本定理，任何自然数（除0.1以外）都可表示为素数乘积形式。由于上述两个“违背"人们获得的是一个虚假的素数分布密度，根本反应不出素数在数域区间真实的疏密状态，不可能获得真实客观的素数分布规律。头号“通病"是造成人类素数研究水平长时期停滞不前的主要根源。

人类研究素数的2号“通病是：扩展越来越大的自然数N直到无穷”，这是人类无法完成的任务。比如欧拉积公式在推导过程中要把自然数中无穷个素数的所有倍数通通减完，从而获取无穷个素数的连乘积与zeta函数的关系公式，这种理想状态是不可能实现的目标任务。真实的情况是：当人们减去的素数个数到达一定数域后，因为大素数间隙处的合数都作为根号N内素数倍数减掉了，欧拉zeta函数变形式余留下来的顺序素数不但不会减完，顺序素数的长度反而还会越来越长，顺序素数反而越来越大，顺序素数反而越来越多，是永远减不完的一个素数“王国”。但是数学家们都认为：那些大素数的倒数都无限趋于零，为了函数收敛变形的需要，就把它们通通省略去了。殊不知省略去的是一个无穷无尽的素数“王国"，是一个永远减不完的“素数世界。一代又一代的数学大师们沿着欧拉积公式和黎曼猜想开辟的zeta函数道路走了近二百年，人们再也找不回那个被省略去了的无穷无尽的素数世界。2号“通病"给人类留下的是无尽的惋惜和千古的遗憾！

为什么数学家们沿用传统筛法或把筛法改进为名目繁多的大筛法、双筛法、加权筛法、园法…等方法，都能获取"给定值N内的全体素数“，但却无法解决素数分布规律问题？原因何在？尽管各类形式的筛法都有其独特的应用功能，但它们却有一个共同的缺陷，我们又称为“短板"，这个缺陷和"短板"就是仅仅在局部有限的自然数N内而不是在一个完整的自然数体系中做“筛法"，这些方法只能筛除根号N内素数在N内生成的素因子合数获取N内素数，但不能筛除根号N内素数在完整的自然数体系中生成无穷无尽的素因子合数从而获得无穷的素数。人们始终看不到N外素数往无穷方向延伸趋势，也就无法获得无穷素数的生成规律，构成人类素数研究中难以突破的“瓶颈"。

违背了素数生成规律和自然数运行规则的两大历史“通病"，加上传统筛法理论受到限制而产生的“短板"和“瓶颈"，把人类认知素数规律的思维，引进了“误区“和"黑洞"。数学家们把一些与素数毫无“血统"关系、不同类的自然数比值规定为“素数分布密度"，从而得出“素数在自然数中将会越来越稀，孪生素数越来越少"的悲观结论，这个结论与素数真实客观的分布规律完全相反，原因是素数生成方向弄颠倒了。至使人类研究素数的水平，始终停留在欧几里得开创的“起跑线"上，两千多年得不到实质性的进展。一代数学宗师欧拉曾丧失信心的预言：“数学家一直试图在素数序列中找出某种秩序，但迄今一无所获，我们有理由相信，这是人类永远无法看穿的秘密。"另一法国数学家厄耳多斯更发出一个真假难辨的预测：“至少100万年人们才能理解素数！"事实上影响素数长时期、跨世纪、跨千年停滞不前的原因只有两个：一是素数研究的方向和路线给弄颠倒了，人们研究素数分布密度不应在混沌的自然数N内去讨论有多少个素数？而应该去硏究素数能生成多少自然数？二是不要仅仅局限在自然数N内做筛法得到N内素数，更要在一个完整的自然数体系中做筛法排除无穷的素因子合数获取无穷素数。如果能解决这两大问题，困扰人类的千年古题一一孪生素数猜想指日可破！多少数学家劳苦终生不得其解的哥德巴赫猜想也会指日可破！

假如我们按照素数生成合数，素数生成素数和自然数的原理和运行规则排列一个完整的自然数体系。设△n=[m1m2…mn]是从小到大的前n个素数的最小公倍数（连乘积）。我们按自然数顺序排列：1.2.3.4.5…mn…（△n-1）.△n，共获得△n个原生自然数，就以△n为周期循环，以△n为公差，继续横平竖直把自然数排列成△n个等差数列无限延伸覆盖一个完整的自然数体系，我们把这个自然数体系称为“n级自然数表"。在“n级自然数表"的△n个原生自然数中，凡不大于mn的全体素数及其素因子合数，因与△n有非“1"公因子，这些原生自然数与k△n（k=0.1.2.…）组成的等差数列纵队就构成一个横平竖直、齐整排列的“n级合数表"，这个往无穷方向无限延伸的“n级合数表"，除原生自然数外，我们再也看不到一个素数。我们把“n级合数表"从自然数表中通通“挖去"（即筛除），余留下来的自然数只存在“1"和“大于mn的素数“以及“全大于mn的素因子合数"，这三种数与△n没有非“1"公因子，与△n的最大公约数为“1"，与k△n组成有无穷素数生成的等差数列纵队的有序大集合，就构成“n级素数表"的全部阵容，一个不漏地包含了大于mn的全体素数。当n值较小时，因小素数产生的素因子合数分布密集，"n级素数表"是混沌的。但当n提升超过一定数域后，大素数产生的素因子合数越来越稀疏其分布密度会进入无限逼近零的状态，我们发现：自然数表的整体构造竟然是两个无限趋于100%的“全素数表"和“全合数表"的有机组合，n值提升越大，“全素数表"和“全合数表"分流就越彻底，越有序，这种发展趋势是沒有止境的。从而揭开了尘封二千多年素数分布规律的神秘面纱和历史谜团。“全素数表"的理论，根治了人类素数研究的两大历史“通病"，补齐了只在局部有限的自然数N内做筛法获得N内素数的“短板"，突破了不能在完整的自然数体系中获取无穷无尽大素数的“瓶颈"，孪生素数的无穷性也就尽在其中了。

在以△n=[m1m2…mn]为周期循环排列的“n级素数表”中，我们发现：无论n取何值，起始端和终端总存在有一组相距最远（距离为‘△n-2’），然而又是距离最近（距离为‘2’）的两个有无穷素数生成的等差数列，这两个数列可表示为±1 k△n（k=1.2.3…），无论△n中的n取值多少，△n有多大都能计算出一个恒大于△n的'孪生素数表”来，因△n的扩大是沒有止境的，无论△n有多大，我们总能计算出比△n更大的孪生素数表，从而证明孪生素数的无穷性。循环往复、周而复始的周期现象表明：‘1`表示从无到有，万物复苏。‘-1`意味着无论多长的生命周期都会结束，又一个新的周期轮迴即将开始。无论n取值多少，周期有多长，△n有多大的"n级素数表”都必须遵循由‘1’到'-1‘的循环往复过程。因此“n级素数表“在由低级表到高级表的衍变过程中，始终存在有一组持久永恒的形如±1 K△n（k=1.2.3…）的孪生（恒生）数列能夠计算出恒大于△n的“孪生素数表"，为区别于其它素数表，我们定名为“孙氏挛生素数表"或名“恒生素数表”。下面我们用"孙氏孪生素数表"从多渠道多方法证明孪生素数猜想。

証明：设△n=[m1m2…mn]是从小到大的n个素数的最小公倍数。无论n取何值，孪生（恒生）数列±1 k△（k=1.2.3…）总存在有一个恒大于△n的“孙氏孪生素数表在延伸：

3.5.7.9.11.13.15.17.19.21.23.

25.27.29.31.…

1.3.5.7.9.11.13.15.17.19.21.23.25.27.29.…

从n=1的孪生（恒生）数列中判断出大于△1=2的“孙氏孪生素数表"延伸：

（5.7）（11.13）（17.19）（29.31）…

7.13.19.25.31.37.37.43.49.55.61.67.73.79.85.…

5.11.17.23.29.35.41.47.53.59..65.71.77.83.…

从n=2的孪生（恒生）数列中判断出“大于△2=6"的"孙氏孪生素数表”延伸：

（5.7）（11.13）（17.19）（29.31）（41.43）（59.61）（71.73）…

31.61.91.121.151.181.211.241.271.301.331.361.391.421……

29.59.89.119.149.179.209.239.269.299.329.359.389.419……从两个孪生数列中判断得到一组大于“△3=30"的"孪生素数表延伸：（29.31.）（59.61）（149.151）（179.181）（239.241）（269.271）（419.421）……

211.421.631.841.1051.1261.1471.1681.1891.2101.2311.2521.2731…

209.419.629.839.1049.1259.1469.1679.1889.2099.2309.2519.2729.…

由上获得大于△4=210的“孙氏孪生素数表"延伸：

（419.421）（1049.1051）（2309.2311）（2729.2731）……按上述方法往下算，分别令n=1.2.3.4.5.6.7.8.9…n…，无论n取何值，△n有多大，都能通过永恒的孪生数列±1 K△n（k=1.2.3…）计算出一个恒大于△n的“孙氏孪生素数表”来。因此“孙氏孪生素数表"就有无穷个。所谓“无穷"就是当人们确定一个最大值之后，总还有一个更大值在后面，沒有端点，沒有尽头，无论我们获得的大于△n的孪生素数表有多大，总还可以计算出更大的孪生素数表。为什么“孙氏孪生素数表"不会绝迹，也不会中断呢？因为隨着n值提升孪生素数在孪生（恒生）数列中生成率总的发展趋势是越来越高，分布密度越来越密集，都是“全大于mn素因子合数"越来越稀疏的缘故。因此我们就能获取说要多大就有多大，说要多少就有多少的无穷无尽的孪生素数。从而证明了千年古题一一孪生素数猜想，是无可争议，无可辨驳真实的客观存在！

在证明过程中，如何把任意等级孪生数列中的孪生素数和合数鉴别开来是一项关键核心技术。当等级较低时，可用"孙氏素数公式"或查“素数表"判断，当n>12级以后可采用解一次同余方程批量搜索素因子合数从而批量判定素数座标是一种高效实用的检验判定方法。

证明：事实上，任意一级的孪生（恒生）数列无限延伸，都包含有无穷组孪生素数，但在低等级的孪生数列中，密布着中、小素数生成的素因子合数，干扰人们視线而不敢断定孪生素数无穷性的存在。但当我们把孪生数列的等级提升超过一定数值后，因△n中的最大素因子mn超大，大于mn的全体素数产生的“全大于mn的素因子合数"的分布密度整体进入无限趟于零的状态，而使两个孪生数列±1 △nK（k=1.2.3…）转化为素性几乎100%的“孪生素数极限公式"。这组孪生素数极限公式的生成率取决于△n中的素数个数n，n值越大，“n级自然数表”中筛除到“n级合数表“中去的合数就越多，余留下来的“n级素数表"就越纯洁，孪生素数的生成率就越高，这是一个沒有止境的提升过程。计算机结果表明：当n≥百亿后，孪生素数生成率已进入几乎100%的状态了。孪生（恒生）数列等级无限提升的最终结局，一定能获取“孪生素数极限公式"，计算得到两个趋于100%的孪生素数等差数列往无穷方向延伸，获取无穷无尽的孪生素数使孪生素数猜想获证。

证明：以n=100亿为例证明。设n=100亿，△n=[m1m2…mn]查素数表得.mn=1117869524291，为简便起见令F=1117869524，则mn=F291，此时在“1"的正方向排列的大于F291的顺序素数延伸如下：

1.F293.F351.F371.…F659.F687.F689.F701.…分别计算各素数座标到“1"的交点距：各素数座标--1=交点距，得正方向“交点距集"：

F292.F350.F370.F658.F686.

F688.F700.……

负方向顺序素数排列：

1.-1.-F293.-F351.-F371.…

-F659.-F687.-F689.-F701，用计算式：1-各素数座标=交点距，得负方向“交点距集"；

2.F294.F352.F372.F660.…

F688.F690.F702.…

从两个“交点距集“中找到一组公解为x=688，在正方向对应座标是F689，落入素数等差数列F689 △nk（K=1.2.3…），在负方向对应座标是-F687落入素数等差数列轨道：-F687-△nk（k=1.2.3.…）这组“孪生素数极限公式"就会周期性、反复无穷地生成孪生素数，使孪生素数猜想获证。

在计算"1"到各素数座标"交点距"时，並不一定所有的“交点距"都要计算，为简便可选择有可能发生“公解“的区段计算即可。比如排列有孪生素数区段。关键是要找到“公解"。

在“全素数表"中，'1’的正、负两个方向“交点距集"对称素数‘公解"实际上並不仅仅只有一组，从广义上说应该有无穷组。在正、负两个方问绝对值大于mn无限延伸的顺序素数中，凡出现有孪生素数座标位置，就会出现一组"公解"xn，这组公解就会落入两个距离相等、方向相反的两个素数生成轨道（等差数列）周期性反复无穷的产生“1"的对称素数合成“2"，因为“1"的负方向的对称素数均是负值，我们就得到：“存在有无穷组素数之差等于2"的结论使孪生素数猜想多渠道获证。我们还可以在“n级素数表"中分别令n=1.2.3.4.5…n…无限…，发现无论n取何值？mn定为多大？“1"的正负两端总存在有绝对值比mn更大的对称素数对合成2，也同样能使孪生素数猜想获证。实际上“全素数表"中任意一组孪生素数都可以同k△n（k=1.2.3…）组成“孪生素数极限公式"而使孪生素数猜想获证。证明孪生素数猜想的方法渠道可以说是数不胜数，无以数计。人类终于象获得"偶数"或“奇数"的无穷性那样，获取说要多大就有多大，说要多少就有多少的无穷无尽的孪生素数，困扰人类的千年古题一一孪生素数猜想终于画上了一个圆满的句号。

"数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”伟大数学家高斯的至理名言道破了数论在数学和科学中的重要地位和作用。人们知道：数论的进展主要取决于素数研究的水平，取决于素数研究的兴衰成败。两千多年来人类在素数研究中的"通病"、"短板"和"瓶颈"，严重制约了数论的发展，制约了科学的进步，给人类留下了一大堆素数问题和“猜想”。"孪生素数猜想"就是困扰人类最为久远的猜想之一。2020年8月28日，作者在《今日头条》发布文章，证明和发现了“自然数N正、负端分布有无穷组对称素数反复合成2N"的惊天结论。作者在多篇文章中证实这个结论反应出素数以自然数N为中心对称分布的普遍“规律"，能一箭双雕地破解哥德巴赫猜想和阿普斯托尔猜想。事实上这个“规律”並不仅仅是“一箭双雕"，而是“一箭多雕"或说是“一箭群雕"地破解数论领域众多的猜想和难题。若把这个"规律”限定在自然数中运用，我们就破解了“≥6的偶数可写为两素数和"的哥德巴赫猜想。若把这个“规律"限定在整数中运用，在证明哥德巴赫猜想的同时，延伸证明了“偶数可写为两素数差"的阿普斯托尔（美）猜想。令人倍感惊奇的是，若把这个“规律"限定在“1”这个自然数运用，我们就会得出“1的正、负两端分布有无穷组对称素数合成2"的结论，因为“1"的负方向对称素数均为负值，于是顺理成章地解决了本文的中心问题，证明了“1的正、负端分布有无穷组对称素数之差等于2"的孪生素数猜想。实际上“孙氏孪生素数表"产生的本质也是“素数对称规律"的一种特殊形式。令人更难以置信的是，若把这个“规律"运用在任意自然数N上，我们可以把“自然数N分布有无穷组对称素数之差等于2N"的结论反过来用就可以证明“对所有的自然数N存在有无穷个素数m，对于m 2N也是素数"的波利尼亚克猜想……对于自然数反应出来的上述性质、特征和功能，同样应用到整数范围，又能解决多少数学问题？推出多少结论？是难以预测的。对于这样一个应用功能如此广泛的定理，我们何以给其命名让它服务于人类呢？考虑它众多的使用功能和区别于其它的素数定理，还是定名为“孙氏素数对称定理"为妥。这个定理揭示了自然数（整数）体系原来是一个宏伟壮观的素数对称世界，一个让人感到惊心动魄然而又是一个心旷神怡、流连忘返的素数对称世界。“孪生素数表"和“素数对称定理"的共同本质是“对称"，二者都源自于“n级素数表"。而“n级素数表"的等级n持续提升的极限就是“全素数表"。“全素数表"的理论就能破解积淀数千年的系列数论问题和“猜想"，使数论领域的历史遗留问题几乎“一锅端"似地解决，是真正打开素数大门的金钥匙。“全素数表”在数学中的地位和作用将象化学中的“元素周期表"一样重要，一样的意义深远。期盼中国的数论学家和热衷于素数研究的人士都能审阅这篇名不见经传的拙文，並不需要大家捧场或增加点击流量。我们急需乞求讨教的是对文章的纠错、证伪和打假。如果“全素数表"理论是正确的，中国的数论科学界就应当确立“全素数表”正确的素数研究方向，那是中国人自己的研究方向。可能用不了半年时间，数论领域就会产生翻天覆地的变革和激动人心的转化，我们就会在世界上竖立起中国数论科学的历史标杆，走出一条具有中国特色的数论科学发展之路，领跑世界，这绝不是梦想。人类携带两大"通病“一个“短板"研究素数两千多年，始终看不見实质性的进展。我们中国人只需半年，仅仅就是半年就可能能走完前人两千年未走完的路，我们为什么不试验一下呢？试验一下都不行吗？