一元二次方程题25道带步骤大全（应该补上的知识点）

可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程、无理方程及高次方程课本没有系统介绍，而在高中数学中常用到，这里有必要了解这类问题的解题规律。解高次或分式方程的基本思想是将该方程化为整式方程，换元法，去分母法是一般方法．一般地，当分式方程中有含未知数的"相同代数式"或"倒数代数式"时，应运用换元法．但要注意：不论用何种方法，都要进行验根．

类型1 分式方程

类型2 二元二次方程组

2.阅读材料，解答问题：

我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如

的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：

解：由②得：y=2x﹣5 ③

将③代入①得：x² （2x﹣5）²=10

整理得：x²﹣4x 3=0，

（1）请你用代入消元法解二元二次方程组：

（2）若关x，y的二元二次方程组

有两组不同的实数解，求实数a的取信范围．

【解答】（1）由①得，y=2x﹣3③，

把③代入②得，（2x﹣3）²﹣4x² 6x﹣3=0，整理的，6x=6，

解得x=1，把x=1代入③得，y=﹣1，故原方程组的解为

（2）由①得，y=1﹣2x③，

把③代入②得，ax² （1﹣2x）² 2x 1=0，整理得，（a 4）x²﹣2x 2=0，

由题意得，4﹣4×2×（a 4）＞0，解得a＜﹣7/2，

∵a 4≠0，∴a≠﹣4，∴a＜﹣7/2且a≠﹣4．

【方法点拨】本题考查的是高次方程的解法，掌握代入消元法的一般步骤和一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．

类型3 无理方程

3.我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是"转化"，即把未知转化为已知．用"转化"的数学思想，我们还可以解一些新方程．

认识新方程：

【解答】（1）两边平方，得16﹣6x=x²，

整理得：x² 6x﹣16=0，

解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，

所以原方程的根为x=2；

（2）移项得：2=6﹣x

两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x 36，

解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍弃）．

【方法点拨】本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根．

类型4 高次方程

4.阅读下面的材料，回答问题：

解方程x⁴﹣5x² 4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²﹣5y 4=0 ①，解得y1=1，y2=4．

当y=1时，x²=1，∴x=±1；

当y=4时，x²=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x² x）²﹣4（x² x）﹣12=0．

【解答】解：（1）换元，降次

（2）设x² x=y，原方程可化为y²﹣4y﹣12=0，

解得y1=6，y2=﹣2．

由x² x=6，得x1=﹣3，x2=2．

由x² x=﹣2，得方程x² x 2=0，

b²﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．

所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．

【方法点拨】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．

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