小学数学教材里为何没有公式（小学数学教材中函数思想体现在哪里）

函数，是一个让学生们挠头的问题，不管是初中生还是高中生，不少孩子都谈函数色变。

大家都认为函数是在初中才接触，但作为教材编写者，其实在小学教材中——从一年级到六年级，就已经埋下了函数的相关内容。

只不过藏得有些隐蔽而已。

今天我就带大家看一看，小学数学教材中那些函数内容。

在一年级上册《20以内的进位加法》整理与复习的第1题。

本题中每一列式子都有一个共同点——两个加数中一个数字保持不变，另一个数字在依次加1，而结果也是依次加1。

这里就体现了加数与和的对应关系或者说是变化依存关系，随着一个加数的变化，和也在变化。

比如第一列9 2、9 3、9 4......其实就是一元一次函数y=9 x。

这一题的第（3）问——发现了什么，也即是在引导学生发现这种变量间的变化依存关系。

在一年级下册，我们也能看到类似的题目。

一年级下册《20以内退位减法》的一道练习题。

因为减数不变，显然差是随着被减数的逐渐变大而变大，这其实就是函数y=x-8。

一年级下册《20以内退位减法》整理与复习的第1题，也是如此。

小学数学的函数思想渗透的非常隐蔽，并没有出现变量，而是把变量变化用一个个具体的式子体现出来，需要家长或者老师在教学的过程中引导孩子发现这种规律。

再比如二年级上册数学课本中，因为涉及到表内乘法，可以说每一组乘法都可以认为是一个正比例函数。

比如2×2=4、2×3=6、2×4=8、2×5=10......

这其实就是正比例函数y=2x。

当然在课本中也不是只有这些内容，比如在本册《表内乘法（一）》的练习十一中，有这么一道题目：

这道题看上去平平无奇，但其实就是高中数学中会学习的映射。

也可以认为是函数的一种表示。

很明显会发现，随着左侧数值的变化，右侧数值也在相应的变化，但左右两侧数值之间的关系是不变的，这其实是一种对应的观点。

在二年级下册的除法学习中，我们会看到熟悉的形式：

仍然是整理与复习的第1题，熟悉的位置，熟悉的味道。

如果说一开始我们是臆测的话，那么到此我们就会确定——小学数学教材，起码人教版教材的编写者，的确在用这种方式潜移默化的向学生灌输函数思维，就看老师和家长能否注意到了。

随着学生年级的上升，函数内容的出现方式也日趋多样。

比如在三年级上册课本中我们会看到一些老面孔，以及新的变化。

三年级上册多位数乘一位数中练习十三的题目——y=99x。

整理与复习最后一题——y=9x b。

其实到了三年级往上，学生的能力有所提高，其实可以适当的抽象一下，比如让学生说一下规律，并尝试着把这种规律用图表、式子的形式表示一下。

这有些建模思想的意思了。

因为在三年级上册，其实会涉及到类似的内容：

这里的长方形、正方形周长公式，已经可以算作标准的函数了。

只不过没有代数化而已。

长方形周长=（长 宽）×2，这其实是一个二元函数y=2×(a b)，周长随着长宽的变化而变化。

正方形周长=边长×4，这是一个正比例函数y=4a。学生在应用公式计算的过程，其实就是将自变量带入解析式求函数值的过程，显然随着边长的变化，周长也在变化，而且双方是一一对应的关系。

三年级下册中也有函数的身影。

三年级下册《笔算乘法》练习十第9题，y=11x。

三年级下册《笔算乘法》练习十一第10题，其实是二次函数y=x^2。

这里可以让学生观察平方关系中，因数每增加1，积增加的量越来越大。

长方形的面积公式且不去说，正方形的面积=边长×边长，其实也是二次函数y=x^2。

家长或者老师在给孩子讲的时候，其实可以多以表格的形式给孩子练习，计算边长与面积的值，体会其中的变化、对应关系。

在这一册课本《笔算乘法》练习十三中有这么一道题。

这道题内涵其实很丰富。

一方面揭示了当长方形周长为定值时，长宽越接近面积越大，正方形面积最大。

另一方面，如果我们用代数方式表示，就是当a b=k(定值），S=a×b=a×(k-a)，这其实是一个二次函数了。

在四年级上册中，出现了新的函数类型。

这里涉及到三种函数模型——y=x÷k，y=k÷x，y=kx。

四年级下册函数思想体现的不多，不再赘述，但是到了五年级之后，函数的内容愈发多样。

在五年级上册第一单元《小数乘法》中的例9，体现了分段函数的思想，如果你去看初中或者高中的数学课本或者试题，在其中都会涉及到分段函数以及这个案例。

这道题的核心在于：打车计费需要分情况考虑，以3公里为标准，里程在其上下所面的的计费情况是不同的。

3公里以内，收费y=7，3公里以外，收费y=7 1.5(x-3)，这是典型的分段函数。

进一步还可以讨论下定义域，即x的取值范围问题。

无独有偶，在小数除法这一单元中也出现了类似的问题。

这道题目可以列方程，也可以用先列函数解析式，然后根据函数值求自变量。

甚至可以从中体会函数与方程的关系。

在第五单元《简易方程》中有一道练习题：

这可以所谓一道数列问题，其实是一个等差数列，但也可以作为一个一次函数的问题，每次增加1个正方形，都需要增加3条边，其实是一次函数：y=1 3n。

等差数列，其实也是一个一次函数。

五年级下册没有特别明显的新鲜的内容，所以我们略过不谈。

但随着学生年龄增长，抽象能力越来越强，小学数学中函数的形式化也愈加明显。

比如六年级上册中，我们会遇到很多函数的内容。

在《圆》这一单元，周长公式与面积公式都是直接用字母代表，周长是一个一次函数，面积是一个二次函数，可以说解析式形式已经很标准、很抽象了。

这一册中的《数与形》中的一道练习题，这三幅图是标准的函数图像。

都表达了离家距离与离家时间的变化关系。

老师和家长可以引导孩子根据图像描述其反映的变化关系，寻找正确的答案。

体会图像是如何表示变化关系的。

到了六年级下册数学教材中，已经开始小初衔接的相关准备，所以函数内容在形式上更加明显突出。

比如在第四单元《比例》中正比例的概念：

这个式子整理一下，就是y=kx的正比例函数。

而且这道问题还直接给出了函数图像。

图像和解析式都是表示函数关系的工具。

你可以说它是比例问题，也可以说其是函数问题。

除了正比例，还有反比例。

这个式子整理一下，就是y=k/x反比例函数。

反比例函数的图像。

这道题如果要求学生写出关系式，并且仿照上图描点，就是典型的函数表示方法——解析式法、列表法、图像法了。

也就是说，在小学数学教材中，学生对于一次函数（包含正比例函数）、反比例函数、二次函数其实都有或多或少，或直观或抽象的认识了。

如果在孩子学习小学数学的过程中，有意识的结合这些编写者提供的素材，引导孩子熟悉函数概念，体会这种变化过程，对于他们初中函数的学习是很有帮助的，对于学有余力的孩子，更是可以引出一篇大文章。

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