微积分微分（五分钟MIT公开课-多元微积分）

概述

这一节通过几个常见的数学例子（最小二乘和二次函数）来引入工程数学中偏微分的概念。最吸引人的部分是通过泰勒公式来说明二次项判定的有效性，让人拍案叫绝。为什么要通过二次微分来判断函数的极点问题，为什么退化鞍点不能用二次微分来判定，十分有意思。

Functions of Two Variables: Graphs 二元函数的图

有没有试着去画一个二元函数 f(x,y) 的图，比起一元函数来，画二元函数的图简直就是灾难。

如何直观的表示一个二元函数，一个很好的列子就是使用等高线图。

Level Curves and Contour Plots 水平线和等高线图

等高线图可以这样考虑：把一个二元函数压扁在一个平面上，平面上不同的高线实际上是不同坐标的水平横截面。同一条等高线上所有的值都是一个常数并在同一高度上。

例：画出f(x,y)=-y的等高线图：

函数图像和x的取值无关，与y相反。

Partial Derivatives 偏微分

根据等高线图，当固定一个变量为定值的时候，可以看出函数随着另一个变量的变化而变化。这个变化可以用偏导数表示。

偏导数(Partial) 的定义就是每次只对一个变量求导数。多元函数只有偏导数。

偏微分的几何意义：

固定一个变量为常数，用对应的平面切割函数。

Approximation Formula 近似公式

近似方程是用来表示多变量同时变动时的方程。直观的想，二元函数的变化就是x方向上的变化加上y方向上的变化。

在多元函数的任一点上，可分别做固定x轴和y轴后的切线，两个切线可以构成一个切平面。

两条直线都在切平面里，切平面的平面方程：

还有一种方法是：用参数方程表示两条直线，然后方向向量做叉乘，得到法向量，再用法向量得到平面方程。

函数的图像和切平面非常接近。可以用这个公式来估计x和y的变化对函数值的影响。

Optimization Problems 优化问题

如何找到多元函数的极大值和极小值。

在局部极小值极大值处，对各个变量的一阶偏导数都为0。

这时候会发现函数的切平面是水平的。

这个条件是必要但不充分的，有其他的偏导数为0的点但不是极值点。

定义：在f上有一点为 临界点（critical point）,如果对各个变量的偏导数为0。

既不是最大值也不是最小值的点，称为 鞍点。

临界点可能是局部极大，局部极小或者鞍点。

Least Squares 最小二乘

对于所有的测量点，找到一条直线，使得所有点到直线的y坐标的差的平方最小(惯例)。

如果拟合函数为y=ax b

最小化距离：

得到2*2线性方程组

摩尔定律的指数方程做最小二乘

Second Derivative Test 二阶导数检验：边界与无穷

如何判断局部极大值，局部极小值，鞍点。

如何找到全局极大值和极小值。

通常来说，极值可能出现在临界点，边界处或无穷远处。

二次方程

如果有二次方程，可以将方程修改为平方项的形式，然后分析各项系数正负来判断。

有一种情况，某一变量系数为0，称作退化（degenerate）。退化临界点有可能是极大值或极小值。在高次方程中，也有可能是退化鞍点，比如D=x^3 y^3在原点处为退化鞍点。

也可以从判别式的角度得到同样的结论。

• 如果 4ac-b^2<0，二次函数有0解，说明二次项有正有负，存在鞍点。

• 如果 4ac-b^2>0，恒正恒负，极大极小由a来判断

  如果 a>0，开口向上，存在极小值

  如果 a<0，开口向下，存在极大值

• 如果 b^2-4ac=0，退化情况，不好判断

下图分别为三种情况的函数图像：

导数检测

对于二阶函数，我们定义

为什么要用二阶导数进行判断？二阶导数判断是如何来的？

这要从泰勒公式说起，首先看函数的一阶展开：

当在零界点的时候，变化为0，一阶展开是不够的，将函数进行二阶展开：

发现二阶项就是标准的二阶方程，我们可以用前面同样的方法进行分析，说明通过二阶导数来分析函数的极大极小值是合理的。

为什么判别式为0的时候不能判定函数形状？

当判别式为0的时候，二阶展开也不够用了，这时就需要判断更高阶的情况。在非退化情况下，函数的形状取决于二次项。在退化情形下，函数图像取决于更高阶导数。

例子

对于任意函数，如何分析？

1. 通过一阶导找到临界点

2. 通过二阶导判断类别

3. 通过A的正负判断极大极小

4. 完善，判断边界

第一步：

可得 (x,y)=(1,1)，这是临界点，下面要判断临界点类型

第二步：

AC-B^2>$，所以临界点(1,1)是极大值或者极小值

第三步：

A>0,临界点(1,1)是极小值

第四步：

考虑哪里是最大值，有边界处（0，0）和无穷远处，带入方程为无穷大，这时方程有最大值。

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