初中几何辅助线证明题旋转法（这道初中数学证明题看着简单）

今天，数学世界仍然给大家分享一道初中数学几何题，这道题难度较大，辅助线比较多，如何作辅助线是这一题的难点。解决此题的关键就是要灵活运用等腰直角三角形的性质，三角形外接圆的性质，以及勾股定理。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中奥数题）如图，已知在三角形ABA’中，AB=BA’，BC平行AA’，∠ABA’是90度，∠ACA’是75度。求证：AC=AD。

分析：此题的条不多，图形也比较简单，但是想通过角的度数推出线段相等并不容易，特别是如何运用75度的角呢？三角形ABA’中，AB=BA’，∠ABA’是90度，可以得知三角形ABA’是等腰直角三角形，并不能与75度的角产生联系，75度的角也不是特殊角，但是它的2倍是150度属于特殊角，怎么转换呢？

我们回想一下，圆周角和圆心角就有这样的关系，于是可以找到三角形ACA’外接圆的圆心O，连接OA、OA’、OB、OC，由等腰直角三角形“三线合一”的性质可以推出OB⊥BC，接下来作OH⊥BA’就可以求出就可以求出圆心O上各个角的度数，得到三角形AOC是正三角形，得到∠CA’A是30度，∠ADC是75度，到此即可得到结论。

证明：取三角形ACA’外接圆的圆心O，连接OA、OA’、OB、OC，

则有OA=OA’=OC，∠AOA’=2∠ACA’=150度，

∠OAA’=∠OA’A=15度，

∵AB=BA’，∠ABA’是90度，

∴三角形ABA’是等腰直角三角形，

∴OB平分∠ABA’，且OB⊥AA’，

∵BC平行AA’，

∴OB⊥BC，

过点O作OH⊥BA’于H，则三角形OHB是等腰直角三角形，

∵∠BA’A=45度，∠OA’A=15度，

∴∠OA’H=3O度，∠HOA’=6O度，

设OH=a，则OB=√2a，OA’=OC=2a,

在直角三角形OBC中，勾股定理得BC=√2a，

∴三角形OBC是等腰直角三角形，即∠BOC=45度，

∴∠AOC=360-150-60-45-45=60度

∴∠AA’C=30度（圆周角和圆心角的关系）

∴∠ADC=∠AA’C ∠A’AD=30 45=75度，

∵∠ACA’=75度，

∴AC=AD。

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