李永乐任意三角形都是等腰三角形（对李永乐用例证法证明三角形内角和为180度的一些看法）

我们先沿着李老师的思路走，来看看这个方法的本质是什么。任意给三角形ABC，取AC中点G，AB中点F。延长BG到E使得BG=GE，延长CF到D使得DF=CF。根据“边角边”的判断原理，有三角形AGE和BGC全等，DFA与FBC全等。那么角DAB等于角ABC，角EAC等于角ACB，于是要证明三角形内角和为180度，等价于证明DAE共线(因为平角是180度)。我查看了一下几何原本，证明全等三角形“边角边”判定法则，只需要用到公设和公理(第一卷命题4，以及第一卷命题15证明的对顶角相等)。因此按照李永乐老师那样，归结到证明共线是没有问题的。

为了证明AED共线，只要用内错角相等得到DA和AE都与BC平行。我查看了几何原本，证明内错角相等，两直线平行(第一卷命题27)，用的是反证法，归结于与“外角大于不相邻内角”的结论矛盾。见下图，如果角1等于角2，AB不平行与CD，那么它们一定相交，不妨设在右边相交，交于E，这样右边形成一个三角形，角1是它的外角，角2是角1不相邻内角。

有人怀疑外角大于不相邻内角，用到了三角形内角和是180度的结论，其实不然。几何原本第一卷命题16，就是证明外角大于不相邻内角的，通过延长边构造全等三角形(“边角边”判定)证明。我们从直觉上也能察觉，得到大于关系要比得到等于关系更加容易。

几何原本第一卷命题32证明了三角形内角和为180度，用的是第五公设，和平行直线内错角相等(第一卷命题29):

已知三角形ABC，过A有唯一一条直线AD与BC平行，由于内错角相等，于是根据平角是180度，证完。

但是李老师证明三点共线，是用的解析几何方法。把三角形放到直角坐标系中，然后检验DAE是不是在直线方程上面。设B=(0，0)，C=(a，0)，其中a=BC，而A=(x1，y1)。那么F=(x1/2，y1/2)，G=((x1 a)/2，y1/2)。然后得到D=(x1-a，y1)，E=(x1 a，y1)，这样A，D，E显然在y=y1直线上。我们看出，不管是得到点D，E，F，G的坐标，还是验证AED是直线，都隐含利用了全等和相似三角形的边角关系。而李老师为了说明他的例证法啊，强行的绕了个弯，用了个用反证法(演绎中也只有反证过程才可以举例子)。因为ADE的坐标都是关于x1，y1一次的，现在假设存在某x1，y1使得A，D，E不共线，那么用ADE三点列出的直线式子f(x1，y1)=0(三点法)不恒成立。这个时候，f(x1，y1)一定是一个一次多项式而不是0多项式，那么根据代数基本定理，不可能存在四个不同的(x1，y1)满足f(x1，y1)=0。现在李老师举出了四个例子，说明反证的假设不成立。但是，很显然，我们完全可以直接用ADE坐标写出f(x1，y1)是0多项式，根本没必要使用反证法。

综上所述，李老师所谓的例证法只是演绎法中反证过程的举例子，并不是他口中的归纳法。归纳法也分为数学归纳法和自然科学中的归纳法。数学法归纳法是Peano公理体系下的一条公理，和反证法的举例子毫无关系。数学是形而上学，所有的定理都是蕴含在公理中，而公理本来就是无法被证明的一种假设。在几何公理下得出的一切定理推论，都不会比公理多出任何的信息，因此你完全可以绕过三角形内角和180度，而始终用它的等价命题或包含它的命题去论述，最终规约到反证的几个例子上(这就是机械证明的思想)。我的观点是，这样的数学证明没有太大的理论意义，只是表现在建立演绎框架的先后顺序罢了。我们完全可以用一个等价命题去证明另外一个等价命题，也可以反过来。而自然科学中的归纳法是真正获取新知识的方法，它通过在自然界收集资料，概括知识，最终用一个演绎体系表示(公理)，然后用数学方法得到定理。但这个演绎体系不一定自恰，只要存在一个反例就可以被推翻。而任意一个自恰的数学体系都不能代表大自然真实规律，只能被认为是一种建模或近似，因为数学中的概念是理想的，形而上学的。在现实中，我们验证不了平行线不相交，也甚至都找不到一个真正的三角形。