初中数学二次函数图像判断(初中数学用二次函数图像判断各系数之间关系)

利用二次函数图像判断各系数之间的关系,是中考数学的常考题型,因为综合性较高,题目较难,通常放在选择题或者填空题最后一题,作为小题的压轴题。因此,需要各位同学认真熟悉此种题型的解题方法和技巧。

初中数学二次函数图像判断(初中数学用二次函数图像判断各系数之间关系)(1)

数学学习

一、基本原理:抛物线与系数之间的关系

已知二次函数y=ax2 bx c,(a≠0, a、b、c为各项系数)

1、a与抛物线的开口方向及大小之间的关系

抛物线开口向上 a>0,

抛物线开口向下 a<0,

|a|越大,抛物线的开口越小

|a|越小,抛物线的开口越大

2、a、b决定抛物线的对称轴 以及 二次函数的最大最小值

1)抛物线对称轴的表达式:x= - b/2a

① b=0时,对称轴为x=0,即y轴;

②当a、b同号时,对称轴<0,即对称轴在y轴左侧;

③当a、b异号时,对称轴>0,即对称轴在y轴右侧;

2)二次函数的最值

① 当a>0时,二次函数在x= - b/2a处,取最小值(4ac - b²)/4a

② 当a<0时,二次函数在x= - b/2a处,取最大值(4ac - b²)/4a

3、c即抛物线与y轴的交点

因为对于二次函数y=ax2 bx c,当x=0时,y=c;

C>0 、C=0、C<0 ,抛物线与坐标轴分别交于y轴正半轴、原点、y轴负半轴。

4、△ = b²- 4ac 决定抛物线与x轴的交点个数

① 当△ > 0时,抛物线与x轴有两个交点

② 当△ = 0时,抛物线与x轴有一个交点

③ 当△ <0时,抛物线与x轴无交点

二、数形结合:代入特殊值

在确定了抛物线的开口方向、对称轴、最值,以及与坐标轴的交点后,往往只能解决前面一些较为简单的问题。我们还需要依据图形,代入特殊值,才能解决题目中较难的问题。

代入的特殊值一般有x= -1, x= 1, x= -2 ,x=2,x=对称轴 等,以及图形中标出的特殊数值,将这些特殊值代入二次函数解析式中,求出函数值,然后结合图像

(1)与0作比较;

(2)与函数最值作比较;

(3)如果有一次函数,与一次函数值作比较;

(4)或者代入特殊值后,将得到的关于a、b、c表达式进行加减乘除运算等。

下面我们结合例题进行详细讲解:

三、例题解析

例1、如图所示,已知二次函数y=ax2 bx c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=﹣x c与抛物线y=ax2 bx c交于C、D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论:①2a b c>0; ②a﹣b c<0; ③x(ax b)≤a b; ④a<﹣1.其中正确的是( )

初中数学二次函数图像判断(初中数学用二次函数图像判断各系数之间关系)(2)

A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②

解:∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,

∴c>0,

∵抛物线的对称轴为直线x=− b/(2a) =1, (利用对称轴公式得出a、b的关系)

∴b=−2a,

∴2a+b+c=2a−2a+c=c>0,所以①正确;

∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧,

而抛物线的对称轴为直线x=1,

∴抛物线与x轴的另一个交点在点(−1,0)右侧,

∴当x=−1时,y<0, (代入特殊值x=−1,结合图像将函数值与0作比较)

∴a−b+c<0,所以②正确;

∵x=1时,二次函数有最大值,(代入特殊值x=1,得出函数最大值,二次函数的所有值都小于最大值)

∴ax2+bx+c≤a+b+c,

∴ax2+bx≤a+b,所以③正确;

∵直线y=−x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,

∴x=3时,一次函数值比二次函数值大,

即9a+3b+c<−3+c,(代入特殊值x=3,结合图像将二次函数值与一次函数值作比较)

而b=−2a,

∴9a−6a<−3,解得a<−1,所以④正确.

故答案为:A.

例2、如图,二次函数y=ax2 bx c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(0.5,1),下列结论:①ac<0;②a b=0;③4ac﹣b2=4a;④(a c)2﹣b2<0.其中正确的个数是( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

初中数学二次函数图像判断(初中数学用二次函数图像判断各系数之间关系)(3)

解:由图像可知:

①a<0, c>0

∴ac<0 正确

②∵顶点的横坐标为0.5

∴ x=− b/(2a) =1/2

(利用对称轴公式得出a、b的关系)

∴a b=0 正确

③∵顶点的纵坐标为1

∴(4ac - b²)/4a=1(利用最值公式)

∴4ac﹣b2=4a正确

① 当x= 1时,y= a b c>0

当x= -1时,y= a-b c<0 (a-b c)(a b c)<0

∴(a c)²﹣b²<0

(代入特殊值x=−1,x=1得到关于a、b、c表达式进行相乘结合图像将函数值与0作比较)

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