上海1988竞赛题（上海市1993年初赛）

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例 一个零件模具的底面由甲、乙、丙3个边长均为$a$的正方形按如下要求叠合而成:甲的一个顶点落在乙的中心上, 乙的一个顶点落在丙的中心上, 丙的一个顶点落在甲的中心上. 求这个模具底面的面积. (上海市1993年初赛)

图1

latex原文：

{\bf 例} 一个零件模具的底面由甲、乙、丙3个边长均为$a$的正方形按如下要求叠合而成:

甲的一个顶点落在乙的中心上, 乙的一个顶点落在丙的中心上, 丙的一个顶点落在甲的中心上. 求这个模具底面的面积. (上海市1993年初赛)

\begin{figure}[tbh]

\centerline{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{xiti8.png}}

\centerline{\small{}}

\end{figure}

{\bf 解} 由$AB=BC=CA=\frac{\sqrt{2}}{2}a$, 所以$\Delta ABC$为正三角形. 因为

\[\angle BAB'=\angle ACA'=\angle CBC'=15^\mathrm{o},\]

所以$\Delta BA'B\cong\Delta ACA'\cong\Delta CBC'$, 于是$\Delta A'B'C'$为正三角形.

辅助工作, 求$\sin\angle 15^\mathrm{o}$. 由三倍角公式$\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$, 令$\alpha=15^\mathrm{o}$得

\[\sin45^\mathrm{o}=3\sin15^\mathrm{o}-4\sin^315^\mathrm{o}.\]

由下面的Matlab代码求得(可用三次多项式求根公式, 海南的范盛金)

\text{S = solve('-4*$a^3$ 3*a-sqrt(2)/2','a')}

\text{simple(S)}

得$\sin\angle 15^\mathrm{o}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}$.

由正弦定理得

\[\begin{aligned}

A'C&=AC\times\frac{\sin\angle A'AC}{\sin\angle AA'C}\\

&=AC\times\frac{\sin\angle 45^\mathrm{o}}{\sin\angle 120^\mathrm{o}}\\

&=\frac{\sqrt{3}}{3}a.

\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}

A'A&=AC\times\frac{\sin\angle ACA'}{\sin\angle AA'C}\\

&=AC\times\frac{\sin\angle 15^\mathrm{o}}{\sin\angle 120^\mathrm{o}}\\

&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}\times\frac{2}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{2}}{2}a\\

&=\frac{3-\sqrt{3}}{6}a.

\end{aligned}\]

根据上面的全等得$\Delta A'B'C'$的边长

$$b=A'C-C'C=A'C-A'A=\frac{\sqrt{3}}{3}a-\frac{3-\sqrt{3}}{6}a=\frac{\sqrt{3}-1}{2}a.$$

于是$\Delta A'B'C'$的面积是

$$S_{\Delta A'B'C'}=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\Big(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{8}\Big)a^2.$$

将甲、乙、丙面积分别记作$S_{\text{甲}}$、$S_{\text{乙}}$、$S_{\text{丙}}$, 甲乙、乙丙、丙甲重合部分的面积分别记作$S_{\text{甲乙}}$、$S_{\text{乙丙}}$、

$S_{\text{丙甲}}$, 甲乙丙重合部分记作$S_{\text{甲乙丙}}$, 则有$S_{\text{甲}}=S_{\text{乙}}=S_{\text{丙}}=a^2$.

设正方形乙右上角的顶点是$H$, 正方形甲乙右上角交点是$I$, 如下图

\begin{figure}[tbh]

\centerline{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{xiti9.png}}

\centerline{\small{}}

\end{figure}

则由$BC=BH$, $\angle CBC'=\angle HBI$, $\angle BCC'=\frac{\pi}{4}=\angle BHI$, 所以

$$\Delta CBC'\cong\Delta HBI.$$

因此

\[S_{\text{甲乙}}=S_{\Delta C'BH} S_{\Delta HBI}=S_{\Delta C'BH} S_{\Delta CBC'}=S_{\Delta CBH}=\frac{a^2}{4}.\]

所以

\[\begin{aligned}

S&=S_{\text{甲}} S_{\text{乙}} S_{\text{丙}}-S_{\text{甲乙}}-S_{\text{乙丙}}-S_{\text{丙甲}} S_{\text{甲乙丙}}\\

&=3a^2-3\frac{1}{4}a^2 \Big(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{8}\Big)a^2\\

&=\frac{15 2\sqrt{3}}{8}a^2.

\end{aligned}\]

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