十进制计算方法和技巧（十进制位值原理）

前几天，我在“一起研究小学奥数”小组中投放了几篇微头条，都是关于填数与等式的类型的。很多朋友都给予了回答反馈，有些朋友希望我写个解题思路，我这里挑几条代表性的题目写下，欢迎大家批评。

一、首先一个引题：把2，4，6，8这四个数全部填入下边四个方框中，使得等式成立。

□＋□＝□＋□

解题思路：因为等号两边的和是相等的，所以题目的意思就是要把这四个数分成两拨，两拨数各自的和相等，也就是要把整个和对半分，2 4 6 8=20，对半就是10。那就很容易凑出这个等式2 8=10=4 6。

二、然而，我们现在遇到的填数题目都是带有两位数、甚至三位数的，所以所有的数字之和与等式两边之和并不相等。那么不相等的话，差在哪里？

例如这道题目：把1～7七个数字填入下边的七个方框中，要求不重复不遗漏，使得等式成立。

□＋□＋□＋□＋□＝□□

解题思路：1 2 3 4 5 6 7=28，但由于有一个数字出现在“十位”上，所以等式两边所有数的和肯定要大于28，大多少呢？这就要用到“十进制”的位值原理：

当一个数字a，出现在十位上，那么它的实际值10a，比原数字值多出9a；

当一个数字a，出现在百位上，那么它的实际值100a，比原数字值多出99a；

.........

我们注意到这个数字不会很大，因为7个数字总共和才28，所以那个出现在“十位”数字只能是1或2。如果是1，那么等式两边所有数的和肯定要比原来7个数字之和要大9，即和数为28 9=37，显然37不能平均分配到等号两边；如果是2，那么等式两边所有数的和要比原来7个数字之和要大2×9=18，即和数为28 18=46，那么分配到等号两边各23。通过构造我们就能得到填法：1 4 5 6 7=23。

例如这道题目：出现两条带有方框的等式

解题思路：0 1 2 …… 9=45，因为三个数字和不会超过24，所以出现在“十位”上的数只能是“1”和“2”，那么两条等式的等号左右两边所有数的和为45 9 2×9=72，平分到左右两边，每一侧都是36，注意到数字“0”只能出现在十位数的“个位”上，那么另一个出现在十位数的“个位”上数字只能是36-10-20-0=6，所以等号左边的两个十位数分别是“16”和“20”（如果出现26，那就太大了）。接下来就比较容易构造出两条等式了：16=3 4 9；20=5 7 8。（答案不唯一）

三、更高阶的应用：

例如这道题目：出现两个等号

解题思路：因为两个等号中间的两位数加一位数的和最大也就是99 9=108，所以出现在等号最左边的三位数上的“百位”数字只能是“1”，“十位”数字只能是“0”，个位数字还不能太大（不能是8或9）。那么接下去怎么办呢？难道1到7，一个个试过去吗？这就又用到十进制“位值原理”的高阶应用“弃九法”。

头条中其他作者关于"弃九法"的文章

“弃九法”的内容概括就是：数字在不同数位上的位值被9除得的余数都相同。那么在这道题中，我们验算10个数字的和为45，被9整除。所以无论这10个数字出现在哪个数位上，所有数的和都仍然应该是9的倍数。那么这个和平均分配成3份，每一份仍然应该是3的倍数，这样我们判断等号最左边的三位数只能是105或者102。

我们再判断两个等号中间的两位数的十位只能是“9”，进一步可以构造出以下等式：105=98 7=63 42；102=97 5=64 38；102 = 98 4 = 67 35。（通过交换等号同侧同位值上的数字，可以构造出24种）。

还有这道题目：

解题思路：1 2 …… 9=45，能被9整除，所以题干中三个两位数、一个三位数的和也应该能被9整除，这个和平均分为两份，每一份都能被9整除。所以下面的三位数能被9整除，接下去，只能把100以上符合题意的9的倍数都筛出来，如下：

• 108（没有0）
• 117（重复1）
• 126（构造不出来）
• 135（构造不出来）
• 144（重复4）
• 153 = 26 48 79
• 162 = 35 48 79
• 171（重复1）
• 180（没有0）
• 189 = 52 63 74
• 198（构造不出来）
• 207（没有0）
• 216 = 34 85 97
• 225（重复2）
• 234 = 51 86 97
• 243 = 61 85 97
• 252（重复2）
• 261（构造不出来）
• 270（没有0）
• 再往大的数就不需要继续尝试了，因为等号左边的三位数不会更大了。

这道题的答案竟然有六组之多，这是我出题时候没有料到的。（通过交换等号同侧同位值上的数字，可以构造出6×36=216种）

好了，各位朋友，你学会使用“位值原理”与“弃九法”了吗？