数学八年级二元一次方程与函数（北师大版八年级数学上册二元一次方程组应用题中的等量关系）

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：

①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.

3．商品销售利润问题：

(1)利润＝售价－成本(进价)；

(2)利润率=（售价-进价）÷进价×100%

(3)利润＝成本（进价）×利润率；

（4）标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；

(5)实际售价＝标价×打折率；

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

4．储蓄问题：

(1)基本概念

①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。

④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式

①利息＝本金×利率×期数

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)

③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息× (1－利息税率)

⑤年利率＝月利率×12

⑥月利率=年利率×（1/12）

注意：免税利息=利息

5．配套问题：

解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

6．增长率问题：

解这类问题的基本等量关系式是：

原量×(1＋增长率)＝增长后的量；

原量×(1－减少率)＝减少后的量.

7．和差倍分问题：

解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

8．数字问题：

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n 1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10 个位数字

9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.

10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的

12．优化方案问题：

在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。

知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤

利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；

2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；

3．找出题目中的等量关系；

4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；

5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.

要点诠释：

(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

(4)列方程组解应用题应注意的问题

①弄清各种题型中基本量之间的关系；

②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；

③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；

④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；

⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；

⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

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