不定积分的计算方法总结 推导不定积分公式时

#创作挑战赛#

老黄已经推导了很多不定积分公式了，可以写成一篇长篇论文了。这次要推导的是“以e为底的指数函数乘余弦幂的不定积分”递推公式。它的公式最终形态，老黄已经推出来，并在前几篇作品中分享了。之所以反过来推导它的递推公式，目的是推向正割余割相关的公式，结果令人感到遗憾。

前面老黄已经推导了“以e为底的指数函数乘正弦幂的不定积分”递推公式，因此推导余弦相关的递推公式是非常简单的。两者的方法步骤以及结果都极其相似。

探究：Jn(a,b)=∫e^(ax)*(cosbx)^ndx的递推公式.

最后还得到了当a=b=1时，递推公式的特殊形式。本来用这个公式，可以递推出最终的公式形式。不过老黄已经直接由正弦相关的公式推出了余弦相关的公式。所以老黄想用它推导的是关于正割的公式。

先比较一下正弦相关和余弦相关的公式，可以发现，两者的形式极其相似。

这两组公式也是很有用的，比如可以用它们来解下面的这个不定积分。

例：求∫e^x*((sinx)^4 (cosx)^4)dx.

至少有三种解法。可以分别运用正弦相关和余弦相关的公式的最终形式。也可以分别应用递推公式。还可以将被积函数变形，再运用不定积分公式。老黄选择后两种方法。

其中有一些要注意的，包括：I2 J2=e^x C；和(sinx)^4 (cosx)^4=1-1/2* (sin2x)^2.

想要推广到正割或余割相关的公式，就要推出升幂的递推公式。因为正割余割的正整数幂，其实就是余弦正弦的负整数幂。

但是得到的公式中，分母有因式(n 1)(n 2)，这说明指数n=-2,n=-1都无法继续递推。从而无法将正割或余割相关的不定积分转化成余弦或正弦相关的不定积分，此路不通！

不过有递推公式的存在，仍可以把指数的绝对值递推降到n=-2,n=-1的情形。但e^x*secx或e^x*cscx，以及e^x*(secx)^2或e^x*(cscx)^2的不定积分，均无法用一般的方法直接求出来。

类似的，∫e^x*tandx和∫e^x*cotxdx也都无法用老黄目前已经分享的知识求出来。因此老黄只好把这些不定积分的公式押后。等到分享到相关知识之后，再与大家分享。至于它们的递推公式，倒是可以推导出来的。

不知道你能不能解决这几个不定积分呢？