单利与复利的问题（关于单利复利年金）

一、货币时间价值的含义

货币时间价值，是指一定量货币在不同时点上的价值量差额。货币的时间价值来源于货币进入社会再生产过程后的价值增值。通常情况下，它是指没有风险也没有通货膨胀情况下的社会平均利润率，是利润平均化规律发生作用的结果。

根据货币具有时间价值的理论，可以将某一时点的货币价值金额折算为其他时点的价值金额。

二、终值和现值

终值（Future Value）又称将来值，是现在一定量的货币折算到未来某一时点所对应的金额，通常记作F。（本利和）

现值（Present Value），是指未来某一时点上一定量的货币折算到现在所对应的金额， 通常记作P。（本金）

现值和终值是一定量货币在前后两个不同时点上对应的价值，其差额即为货币的时间价值。现实生活中计算利息时所称本金、本利和的概念相当于货币时间价值理论中的现值和终值。

单利和复利是计息的两种不同方式。

1. 单利计息是指按照固定的本金计算利息的一种计息方式。按照单利计算的方法，只有本金在贷款期限中获得利息，不管时间多长，所生利息均不加入本金重复计算利息。只对本金计算利息，各期利息相等。比如银行活期存款利息、应付债券的票面利息
2. 复利计息是指不仅对本金计算利息，还对利息计算利息的一种计息方式。既对本金计算利息，也对前期的利息计算利息，各期利息不同。比如银行定期存款利息、贷款利息、应付债券的实际利息

（一）一次性收付款项的复利终值和现值

1、复利终值

复利终值是指一定量的货币，按复利计算的若干期后的本利总和，公式如下：

复利终值公式

式中，

复利终值系数

为复利终值系数，记作（F/P，i，n）；n为计算利息的期数。

【例题】某人将10 000元存入银行，年利率2%，求10年后的终值。已知（F/P，2%，10）= 1.2190。

F = 10 000×1.2190 = 12 190（元）

2、复利现值

复利现值是指未来某期的一定量的货币，按复利计算的现在价值，公式如下：

复利现值公式

式中，

复利现值系数

为复利现值系数，记作（P/F，i，n）；n为计算利息的期数。

【例题】某人为了10年后能从银行取出10 000元，在年利率2%的情况下，求当前应存入的金额。已知（P/F，2%，10）=0.8203

P=10 000×0.8203=8203（元）

（二）年金

年金 （Annuity）是指一定时期内每隔相等时间发生相等金额的收付款项（等额、同向、同距）， 通常用A来表示。年金的形式包括保险费、养老金、直线法下计提的折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款等，年金具有等额性和连续性特点，但年金的间隔期不一定是一年。年金按照收付时点和方式的不同可以将年金分为年金包括普通年金（后付年金）、预付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等四种形式。

①普通年金（后付年金）：从第一期开始每期期末收付款的年金

②预付年金（即付年金、先付年金）：从第一期开始每期期初收付款的年金

③递延年金（延期年金）：在第二期或第二期以后收付款的年金

④永续年金：无限期的普通年金

年金的有关计算

（1）普通年金现值

普通年金现值，是指将在一定时期内按相同时间间隔在每期期末收付的相等金额按照一定的市场利率折算到第一期期初的现值之和。

普通年金现值的计算公式

式中，

年金现值系数

称为年金现值系数，记作（P/A，i，n）；n为计算利息的期数，i为利率，年金现值系数的值可查年金现值系数表得到。

普通年金终值指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按 复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。 如果年金相当于零存整取 储蓄存款的零存数，那么年金终值就是零存整取的整取数。普通年金终值的计算，公式如下：

普通年金终值公式

式中，

称为年金终值系数，记作（F/A，i，n）；n为计算利息的期数，i为利率，年金终值系数的值可查普通年金终值系数表得到。

【例题】某投资项目于2017年年初动工，假设当年投产，从投产之日起每年末可得收益100 000元。按年利率5%计算，计算预期5年收益的现值。已知(P/A，5%，5)=4.3295。

预期5年收益的现值

=A×(P/A，i，n)

=100 000×(P/A，5%，5)

=100 000×4.3295

=432 950（元）

【思考】已知贷款本金是100万元，贷款年利率是5%，期限是360个月，可以计算出月供额是5368.22元。

那么，如果已知贷款本金是100万元，告诉你月供是5368.22元，期限是360个月，可以反推出贷款利率是多少吗？

【回答】可以。

【结论】根据年金现值的计算公式，如果已知P（本金）、A（月供）、i（利率）和n（期限）中的任意三个数，都可以计算出剩余的一个数。

【例题】2×13年1月1日，甲公司支付价款1 000万元从上海证券交易所购入A公司同日发行的5年期公司债券12 500份，债券票面价值总额为1 250万元，票面年利率为4.72%，于年末支付本年度债券利息（即每年利息为59 万元），本金在债券到期时一次性偿还。甲公司根据其管理该债券的业务模式和该债券的合同现金流量特征，将该债券分类为以摊余成本计量的金融资产。假定不考虑所得税、减值损失等因素，计算该债券的实际利率i：

即：1 000=59×（P/A，i，4） （59 1 250）×（P/F，i，5）

采用插值法，计算得出i=10%，下面为一个具体插值法的例子：

59 59 59 59 59 1 250）×（1 r）^^-5=1 000

（59×5 1 250）×（P/F，r，5）=1 000

即：（P/F，r，5）=0.6472

经查表已知：

（P/F，8%，5）=0.6806

（P/F，10%，5）=0.6209

从而计算出r约等于9.05%

（2）预付年金：也称先付年金、即付年金，是在每期期初发生的年金。

（3）递延年金

（4）永续年金

【结论】

1.本金一般称之为“摊余成本”。

2.每期收付的利息包含两部分：

（1）实际利息=期初摊余成本×实际利率；

（2）偿还的本金=每期收付的利息-实际利息

偿还本金，会引起摊余成本的变化。

3.期末摊余成本

=期初本金-偿还的本金

=期初本金-每期收付的利息 实际利息

4.从账务处理来看，摊余成本一般就是金融资产或金融负债的账面价值

【会人会语】

一寸光阴一寸金，这是对货币时间价值的最好诠释。

人与人之间的差别在于单位时间的货币价值不同，笨拙的人哪怕是复利计息，也可能赶不上天才的人单利计息，但只要时间足够长，那么货币时间价值一定会让笨鸟先飞！

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