数学逻辑推理及思路（数学基本思想之二推理）

如果把数学看作是三条腿的凳子，数学的基本思想抽象、推理和模型就是它的三条腿。上一篇文章中简单讨地论了数学的抽象，这篇文章讨论数学的第二条腿——推理。

数学来源于生活实践，人们借助抽象，从劳动中得到数学所要研究的基本概念和法则：比如自然数、实数、点、线、面、以及各种数量关系概念等等。简而言之，人们运用“抽象”把外部现实世界引入数学大厦。而推理是在基本概念和法则的基础上，进一步得到数学的公式和命题，并促进数学的发展。

当然，抽象和推理并非只是接力跑运动员，人们在通过筛子选出事物的“本质共性”，漏掉模棱两可和无关的细节时，同样需要应用纯粹、明确的逻辑规则进行分析判断。它们更像“你中有我，我中有你，相辅相成”的夫妻。

亚里士多德

推理是什么？

推理在人们的生活中可以说如影随形，无处不在。

“数学考试不及格会是什么结果？”

“相亲是素颜还是化妆？”

“儿子做作业拖拉磨叽怎么办？”

“为什么身材成了大象腿，水桶腰？”

……

生活简直就是无休止地制造问题，处理问题，而推理又贯穿始终。

初中学生做几何证明题时，都知道要“双向思考，动态看图。”双向思考指的是“正向思考和逆向思考”。

正向思考，是由已知条件出发，结合我们大脑中储存的相关定理，最后推导出结论的证明过程。逆向思考，是先看结论，分析满足这个结论需要用到什么定理，需要凑齐哪些条件，然后结合题意继续思考下去，最终“干掉”问题。

动态看图，则是要通过“旋转、平移、翻折、辅助线”等方法，找出更多的“已知条件”，根据这些条件，进而推导出所需要的结论。

无论是正向思考、逆向思考或者动态看图，都要求我们观察、推广、猜想一般性结论、论证结论，这个过程就是推理。

逻辑学家：推理就是从一个或者一些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式，其中已知的命题是前提，得出的新命题是结论。推理存在的基础是：共性存在与个性之中，特殊性中包含着普遍性。

很多人一说起数学就一个字：难！其实相对于生活，数学是简单的。因为数学是对符合逻辑规则的事物，进行逻辑推理和研究。而生活是复杂的，也不是所有现象都能找到它遵循的逻辑规则，理性思考难以解决生活抛给我们的所有问题，所以适当地“非理性”与不合逻辑并不是人性的弱点，而是人性的优点。

“意外绞刑”告诉我们，生活中处处都有意外。一名囚犯被告知他会在这周的某一天被处以绞刑， 但法官对囚犯说，“只有在执刑当天的早上通知你之后，你才会知道行刑是 在哪一天”。所以囚犯想：这样的话，行刑日就不可能是周日了，因为到周六还没被处决，我就一定知道是在周日，这样一来，我就会在前一天知道行刑日期，和法官的话不符。所以最晚的行刑日一定是周六。但是周五我要是没被处决，周日又被排除 ，那我又提前一天猜到了行刑日是周六，这样又和法官的话不符，所 以周六也不可能是行刑日。循环运用同样的论证方式，行刑日也不可能是周五，周四，周三，周二，周一，也就是说，我不会被处以绞刑！结果周一那天，他就被处以绞刑了，这个囚犯行刑前很恼火：这太出乎意料了，我的逻辑到底哪里出了错。

推理的形式。

如果从推理的性质上看，可以分为归纳推理和演绎推理。

归纳推理，数学归纳法是由特殊概括出一般，或者是从个别性论断到另外的个别性论断的一种思维方法。归纳推理的结论所断定的超出了前提所断定的范围，因此，前提的真不能保证结论的真，它是一种或然性推理。归纳方法不仅是一种研究方法，还是一种有创造性的探索式思维方法，它帮助人们从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西。可以说数学知识的发生过程就是归纳推理的应用过程。归纳推理包括归纳法、类比法、简单枚举法等。

演绎推理。是指从一般性原理到个别，或者是从一般性原理到另一个一般性原理的思维方法。演绎推理的结论所断定的隐含在前提之中，所以是必然性推理，前提的真能够保证结论的真。人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过推断得到的结论，这便是数学的“证明”，通过证明得到的结论是正确的。演绎推理包括三段论、反证法、算法逻辑等。

弗朗西斯科-毛罗里科

推理的可靠性。

要保证结论的正确性，就必须满足三个条件：一是前提要真实；二是推理形式有效；三是前提和结论相关。作家王小波在《人性的逆转》中有一段话：“逻辑学家指出，从正确的前提能够推导出正确的结论，但从一个错误的前提就什么都能够推导出来。”就像罗素从2 2=5推导出罗素是教皇一样。

如果你希望数学的结论像真理一样“靠得住”，就必须有真实的、与结论相关的前提，并严格地遵循有效的推理形式。