怎么证明二重积分存在（看一眼就学会二重积分）

1. 是什么：若把z=f(x,y)看为顶，它就是以D为底的柱体体积；若把z=f(x,y)看为密度，它就是D的质量，他还可以解释为转动惯量，引力……
2. 算法一：若f(x,y)=1，则二重积分算得D的面积，例如

3. 算法二：若D关于x=0对称且f(x,y)关于x是奇函数(f(-x,y)=-f(x,y))~(只研究x，把y看为常数)，则二重积分等于0。当然，也可以只研究y，把x看为常数，结论一样。例如

4. 算法三：化为两个二定积分。

关键：找出D的图像，通过切割，找到四条线的表达式(四个等号)，进而得到变量的积分上下限；

注意：只能由图像的切割得到范围，所以一定要画图；常数的上下限要先写后算；四个等号一定要是显函数。

情形1: 横着的图形竖着切(用直线x=k作刀从头切到尾)

情形2: 竖着的图形横着切(用直线y=k作刀从头切到尾，注意事项和上面一样)

情形3: 圆圆的图形用极坐标切(用射线θ=k作刀从头切到尾，就像切披萨)，特别注意：极坐标时，dσ=rdθdr，得要多一个r，多一个r，多一个r，重要的事说三遍！

衍生知识点：交换积分次序，记住：已经给出的积分顺序一定是错误的！一定需要换顺序！例如某年的考研题

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5. 算法四：利用轮换对称性，考研喜欢用这个来增加难度。例如

6. 算法五：坐标变换化简积分区域，大学生数学竞赛喜欢用这个来难为大家。