分数约分的问题解题技巧（古人是如何求解分数约分的问题）

3九章算术 卷第一 方田——约分术

原文

[5]今有十八分之十二。问约之得几何？

答曰：三分之二。

[6]又有九十一分之四十九。问约之得几何？

答曰：十三分之七。

约分术曰：可半者半之，不可半者，副置①分母子之数，以少减多，更相减损，求其等②也。以等数约之。

注释：

①副置：在旁边布置算筹；

②等：“等数”的简称，指最大公约数。由辗转相减至两边的差相等而得名

今译：

[5]已知分数十八分之十二，约分后是多少？

答：三分之二。

[6] 已知分数 九十一分之四十九，约分后是多少？

答：十三分之七。

约分的方法是：如果分母、分子都是偶数，分别减去自身的一半（即：分别除以2）；如果分母、分子不全是偶数时，则在旁边用算筹将分母、分子的数字重新表示出来，然后用大数减去小数，所得的差与之前的小数比较，再用较大数减去较小数，如此辗转相减下去，一直到两边的差相等。这个相等的数就是最大公约数，最后用最大公约数去约简分母与分子。

例如：第[6]题的解题过程是：

91与49最大公约数的求法过程

（此过程称为：更相减损术，或称辗转相减法，或约分术）

所以：91与49的最大公约数是：7

评议：

这一讲是《九章算术》的约分术，求解分数约分的问题。要约分，则须先找到分子、分母的最大公约数，而如何寻找最大公约数呢？古人创造性地发明了新方法——更相减损术（今称：辗转相减法）。读完此节，笔者感慨良多，祖先的智慧真是远超我们的想象。

1、“更相减损术”是中国古代求解最大公约数的一个伟大创举，此种方法简单、实用、有效、快捷！

小学时学过“短除法”求解两数的最大公约数，大学时学过“辗转相除法”求解两个多项式的最大公因式。学习《九章算术》（大约成书于公元1世纪）后才知道我国还有“辗转相减法”求解两数的最大公约数，虽然此种方法比“短除法”步骤多，但减法运算比除法运算简单，而且不用考虑余数的问题。在有限次作差后，可以得到最大公约数。这种方法的优越性立马显现出来，其简单、实用、有效、快捷的优点，促使学习者很快就能掌握。

此种方法与欧几里得《几何原本》（大约成书于公元前300年）卷7第1题的“辗转相减法”思路相同。受当时生产力低下，社会发展缓慢和地域的限制，东西两种古老文明地交流几乎为零，我们可以确信两种文明创造的求解最大公约数的方法系各自独创。

今天我们学习的“辗转相除法”其实是在“辗转相减法”的基础上发展而来。

2、感叹古人追求数学“简洁”的美。

刘徽在注释“约分”时提到“繁则难用”，并举了例子，四分之二，“繁而言之”为“八分之四”，“约而言之”为“二分之一”。三个数虽然表示的形式不同，但结果是一样的。

由此可以看出古人在“化繁为简”的过程中，追求的是数学“简单、简洁”的美，这和世界数学史发展中追求“简洁”的美是一致的。这种“美”不仅有实用的简单，形式的简洁，更有内在数学思想的简便。

3、感叹古人讲究“分类与化归”的数学思想方法。

约分术中提到了两种情况：分子分母均为偶数和不全为偶数的两种情况，并对不同的情况采取不同的方法。如果均为偶数则分别除以2，如果不全为偶数而采用转化的方法，运用“更相减损术”求出最大公约数，再约分。

整个过程，可以看出古人已经非常熟练地运用了“分类”与“化归”的数学思想方法，其中数学思路的清楚程度着实让我们惊叹！

4、原来“先易后难，从简到繁，循序渐进”的教学和学习方法古已有之，我们一直在继承与发展。

题[5]的分数约分，其数字在“九九表”中，可以通过九九乘法口诀很快地找到最大公约数，而题[6]的分数约分，其数字不在是“九九表”中，相对来说是较复杂的。这正好体现了我们的数学教学和学习的方法：先易后难，从简到繁，循序渐进。

我们经常教育孩子学习要先易后难，循序渐进。不成想，我们一直在谨遵祖训，继承发扬着这么好的朴实的教学和学习方法。

5、翻译“以少减多”的困惑与释然。

笔者在翻译“以少减多”遇到了困惑，查阅钱宝琮、郭书春、肖作政、邹涌等的译注或编译，均未对此短句进行深入解释，一笔带过。笔者通过上下文也能理解：是用大数减去小数。但按我们现在的语言习惯翻译“以少减多”就是“用少减去多”，这不是得负数了吗？不是产生了矛盾？

笔者思索一晚而不得结果（睡梦中还在想），将困惑说与老婆。老婆说“以少减多，就是以少的标准，从多中减去。多是被减数”，“相当于2除3，实际的意思是：3除以2”。一语被老婆点醒。

6、一点说明

至于“更相减损术”（辗转相减法）的数学证明，在此不详细叙述，有兴趣的读者可以进一步了解或自己证明。

参考文献

1、肖作政编译.《九章算术今解》.大连：辽宁人民出版社，1990

2、郭书春译注.《九章算术译注》.上海：上海古籍出版社，2009

4、钱宝琮点校.《算经十书》.北京：中华书局，2021

3、邹涌译解.《九章算术》.重庆：重庆出版社，2015

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