自然数的基础知识有哪些（如何在10分钟内了解这些）

根号2说：

你怎么比我还无理取闹

昨天，超模君和小天发现了隐藏着的根号2（传送门）。

小天一脸嫌弃：怎么说的好像是你发现似的

事实上，√2只是一个最普通的无理数。或者可以说，根号2是最“有理”的无理数了。

啥情况，为什么说√2是无理数中最有理的呢？

原来在这个庞大的无理数家族中，比√2更“无理”的数多了去了。。。（科学是无止境的）

此外，√2是方程 x² - 2 = 0 的一个解，由此可知，称√2是一个“代数数”。

代数数：如果某个数能成为一个整系数多项式方程（a _nⁿ₁₀

显然，那些可以用根号表示出来的无理数，都属于代数数。所有有理数都是代数数，因为它满足方程 nx-m =0（m，n为整数 ，n≠0）。

小天举手：超模君，那也就是所有数都是代数数咯？

超模君：小天，你看看这个数：0.110001000000000000000001…（其中小数点后面第 1，2，6，24，120，... 位是 1，其余位都是 0），你看看能不能用这个数找一个方程？

小天：超模君，你这不是在逗我吗。。。我要找模友来帮忙

超模君：别别别，不打扰我们的模友了，还是我来跟你说吧！类似刚才这种数呢，我们叫做“超越数”，而这种数是无法用方程式来表示的（所以除了代数数以外的数都叫超越数）。

刚才说的我提的数字：0.110001000000000000000001…（其中小数点后面第 1，2，6，24，120，... 位是 1，其余位都是 0）也就是史上第一个超越数！

小天：天哪，这个数到底是什么人发现的！

刘维尔

原来在1844年，法国数学家刘维尔构造出这个数（这种构造性的做法是数学证明中一个常用的方法），潜心研究，终于发现，这个数不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。因此，第一个超越数也称“刘维尔数”。

在1873 年，法国数学家夏尔·埃尔米特也证明出自然底数 e是一个超越数。

夏尔·埃尔米特

1882 年，德国数学家林德曼证明了圆周率 π 是一个超越数。（从此，π的神秘面纱也慢慢揭开。）

在研究超越数的过程中，莱昂哈德·欧拉

这个猜想已被证明，于是可以断定e、π是超越数

像无理数的发现一样，超越数的证明，也给数学带来了一场大变革，它解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题（即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题）。

倍立方问题

三等分任意角问题

化圆为方问题

然而，人们对超越数的了解还是太少。至今数学家们仍然不知道，π e、π - e、π·e、π/e这些数是否是超越数。。。

尽管如此，人们还是普遍相信它们都是超越数，毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程。

小天：嗯，有道理。。。不过，“超越数”这个词有点“辣眼睛”啊。

超模君：你以为讲到超越数就完了？还有更“辣眼睛”的数呢。。。

事实上，π的小数部分展开看上去是毫无规律的，但毕竟还是有办法算出来的。

可以说，如果想知道 π 的小数点后第一亿位是多少，人们总能在有限的时间里算出结果来。

数学的探索总是那么让人着迷！！！

就在1975年，数学家格里高里·蔡廷（算法信息论创始人）研究了一个很有趣的问题：任意指定一种编程语言中，随机输入一段代码，这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止（不会无限运行下去）的概率是多大？

他把这个概率值命名为了“蔡廷常数”（Chaitin's constant）。

这听起来有点不可思议，但事实上确实如此——蔡廷常数是一个不可计算数（uncomputable number）。

也就是说，虽然蔡廷常数是一个确定的数字，但现已在理论上证明了，它是永远无法被求出来的。。。

小天背脊一凉：哈哈……不可计算数……不可计算……数……

超模君（根本停不下来）：其实还有一个“更大的boss”。。。

虽然蔡廷常数是算不出来的，但是我们却知道蔡廷常数是什么，至少它有一个明确的定义。

然而，你仔细想想，会不会存在一种我们完全无法给它定义的一类数呢？

细思极恐，很显然，这类数是存在的。

至于原因，其实很简单：长度有限的文字段落是可以逐一枚举的（虽然有无穷多），而全体实数是不能枚举的，因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数（undefinable number）。。。

此时的超模君根本停不下来。。。

听完这一切的小天一脸懵逼。。。

不过仔细想想：先分（zhuang）享（bi）给11岁的表妹。

本文由超级数学建模编辑整理

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