数字为什么会是无限的（为何是数学史上最大的梦魇）

在我们的现代生活中，数学几乎是一切行业的基石，也是许多人求学生涯中的最大梦魇。然而数学作为一门由人类“发明“出来的学科，在其发展的过程中，其实遇到很多次危机，所谓的危机，就是指那些对于当时的数学理论构成颠覆性挑战的问题，例如曾让毕达哥拉斯对自己学生痛下毒手的无理数存在，或者是更晚近的负数存在，和本文想介绍的无限。

这些问题都严重地挑战了当时的数学理论，也令当时的数学家痛苦不已，因为以当时的数学工具与观念，这些问题是头野兽，把他们的数学理论啃食地残破不堪，而数学家们又无力解决，最后往往只能“解决“提出问题的人。所幸在当代，这些问题早已有和谐地融入数学理论，共同构筑了我们的现代社会。而今天我们就要来看看，在数学历史上最重要的危机之一，无限的存在。

说到无限，这可能是很多人从小就隐隐约约能体会到的概念，我们或许会在某个与同学游戏的瞬间察觉到，数数是一个停不下来的游戏，因为我们总可以永无止尽地在现有的数字上加1，貌似永远找不到一个最大的数字，这或许是大家接触无限的共同经验。而对于我们的先民，他们对无限也是起源于类似的情境，只是他们面对的是广袤的星空，他们数的是星星。

十七世纪的法国数学家帕斯卡就曾说：『当面对周遭太空的潜无限，还有和永恒时间相比，我的生命又是多么短暂，这时，敬畏和恐慌便油然而生。』夜空黝黑一片，满布明亮天体，这是古代生活的非凡特征。这带来故事灵感，提供导航作法，也诱人崇拜。这让人类觉得，自己在广大宇宙间有个地位，而且是种谦逊的地位。

在繁星点点的暗夜之中，我们显然只是毫不起眼的一点，黑暗不断扩展，说不定还永不止息。它要怎样终止？再一次，宇宙边际的观念，比宇宙无边际的观点更难掌握。这种边际之外是哪种世界，还有它会是在哪里？

这类对于大自然观察地的直觉，后来经过人们的思维加工而逐步形成数学中的潜无限和实无限概念，这主要是亚里斯多德的贡献。他首先提出潜无限和实无限之辩。

他认为无限是一个理想中存在的概念(潜无限)，以人类的理性推理，无限应该存在，但在现实生活的观察中，我们不可能观察到真正以无限形式存在的个体(实无限)，也就是说，无限只是一个概念。自亚里斯多德起，逐步在哲学家和数学家中分裂而成潜无限派和实无限派。

例如， 亚里斯多德 (Aristotle， 公元前384—公元前 322)、 高斯 (K.F. Gauss， 1777-1855)、 克罗内克 (L. Kronecker， 1823-1891)、 布劳威尔 (L.E.J. Brouwer， 1881-1966) 以及现代直觉主义者等都属于潜无限派; 莱布尼兹 (G.W. Leibniz， 1646-1716)、罗素 (B. Russell，1872-1970)、 希尔伯特(D. Hilbert， 1862-1943) 以及现代柏拉图主义者等都属于实无限派。

无限概念在我国战国时代即已出现， 古 代美学家庄周 (约公元前369—公元前286， 一说公元前369—公元前289) 在 《庄子》一书中曾提出: “一尺之棰， 日取其半， 万世不竭。” 三国时代的刘徽在利用“割圆术”计算圆面积时， 曾经说过:“割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至不可割， 则与圆无所失矣。” 这都是潜无限论。

而《庄子》一书中所说的“至大无外谓之大一， 至小无内谓之小一。 ” 这乃是实无限论。 其中“大一”即是无限大， “小一”即是无限小。

虽然对于无限的概念是起于数学，但是西方的思想家们并未在数学上深耕(东方也只限於哲学上的探讨)，而是很快便把思辨的战场转移到神学之上。因为无限使当时的人们联想到了上帝，认为无限会动摇时间的存在，也会动摇基督教神学中所认为的全知上帝的存在。

他们假定，上帝应该是无限的(背后代表着全知全能的意思)，但又担心一旦无限被数学家在纸上搞清楚了，上帝也连带着被说清楚了，这是一种对于上帝的亵渎。可以说，综观整个文艺复兴时期，科学家与哲学家就围绕着，该不该去搞清楚无限，讨论了好几百年，这当中就牵涉到许多人类历史上最聪明的脑袋如伽利略和笛卡儿等人。

笛卡儿甚至被无限困扰到不行，最后不得不依靠一些文字的技巧，试图在论述中用不定(indefinite)来取代无限(infinite)，借此避开直接讨论无限本身，甚至最后主张人类不应该去研究无限，无限是个完完全全的神学问题，或著说是上帝的私事。

伽利略算是第一个对于无限有进一步理解的人，他透过一个简单的数学示范，归纳出一些无限的性质。他指出，假设我们列出所有正整数，那个这个数列必定是无限长的，倘若我们把这个数列中的每个数都平方，我们可以得到一个新数列，新数列的长度必定与原数列相等，但是奇妙的是，新数列中的每个数，必定会存在于原数列，因为原数列包含所有正整数，因此原数列一定比新数列长。

这是无限最有名的悖论之一，伽利略并未直接回答这个悖论，却归纳出结论：『我们不能讲，某无限数是大于或小于或等于另外一个无限数。』伽利略无疑是人类历史上最聪明的脑袋之一，他的这个数学示范，说服了后来数百年的数学家，让他们认为无限是一个无法比较的概念。

尽管在伽利略之后，虽然人类仍无法準确地把握无限的概念，但还是许多后起之秀把人类的知识领域往前大大推进。16世纪和17世纪是实无限的黄金时代， 於17世纪后半期由牛顿 (I. Newton， 1642- 1727) 和莱布尼兹 (G.W. Leibniz， 1646- 1716) 创建了微积分，微分学的基本概念，“导数，是两个无限小之商，积分学的基本概念， “积分”，则是无限多个无限小之和。

因而， 微积分也被称为“无限小分析”。 这时所说的无限是一种实无限。然而，被誉为数学王子的高斯 (K.F. Gauss， 1777-1855) 是坚决地反对实无限论的。他说:“无限量不能当作实体，这在数学的框架中是从来都不允许的。无限只能算是一种叙述方式，当人们谈到极限时，是指某些比值可以任意近地趋近于无限，而另一些则是允许没有界限的增加。”

此后从18世纪末到19世纪末这之间约一百年的时间内， 数学便是在这个基调下发展中，而当中主要是潜无限为主导作用。法国的数学家柯西(A.L.Cauchy， 1789-1857) 借由创立极限论，为整个微积分体系奠定了理论基础， 这背后正是潜无限的思想。 由柯西所建立的微积分体系，可说是排除了统治长达三个世纪之久的实无限论。

虽然经过几百年来数学家的努力，人类慢慢地能够看清无限的些许轮廓，但对于无限的本质还是处於一个相当粗浅的认识，直到后来一个人的出现，才打破了这个局面，他就是著名的数学家，乔治．康托。实无限论者乔治•康托 (Georg Cantor， 1845-1918) 是数学史上最富有想像力的数学家之一，他所创立的无限集合理论， 在数学界引起了激烈的争论， 甚至是严厉的谴责，最后也导致其不幸的下场。

然而， 也有许多卓越的数学家深为康托的思想所启发， 德国著名的数学家希尔伯特在1926年的公开演讲中曾经说过: “没有任何人能把我们从康托所创造的乐园中驱除出去”。对于康托的思想成果，希尔伯特更进一步讚誉为“数学思想的最惊人的产物， 在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一“。

康托认为数学要取得进展， 必须肯定实无限的合理性。 他写道:“任一潜无限都必然导致超限，离开了后者，潜无限是无法想像的。”康托以一种新的数学论述(不可列无穷小数)指出，无限不仅是不可列的，而且还是不能克服的，他还发现，无限是可以无止境递升的，世界上不存在可以所有无限的最大无限。

从这个发现康托开始研究无限集合， 并且利用集合中元素之间的一一对应， 定义了无限基数， 利用自然数的的序数，引出无限序数，从而形成无限数论，成为后世对无限概念的理解基石。当然这种颠覆性的思想在一开始并未收到同行的认同，甚至是他的至交好友都为此与他绝交，这让康托在身心上都受到严重的打击，最后罹患严重的精神疾病，这位一代数学天才，最后竟然是在精神病院中孤独去世。

无限是现代数学的基石，但也是千百年来数学家的梦魇。或许人类知识的进展就是如此，需要一代代绝顶聪明的脑袋前仆后继，才可让我们这些后人清閒地乘凉於他们种下的大树之下。