数学的天地全集（数学的陈年佳酿）

作者：汪晓勤

摘自：《数学文化》2013/第4卷第1期，数学家随笔《陈年佳酿》。

18世纪法国数学史家蒙蒂克拉（J. E. Montucla，1725-1799）在他的《数学史》中讲述了古希腊大数学家阿基米德（Archimedes，前287-212）的故事：公元前212年，阿基米德的家乡叙拉古被罗马人攻陷。当时，阿基米德仍在专心致志地研究一个几何问题，丝毫不知死神的临近。当一个罗马士兵走近他时，阿基米德让他走开，不要踩坏他的图形，罗马小卒残忍地用刺刀危害了他。

阿基米德之死

18世纪法国著名女数学家索菲·热尔曼（S. Germain，1776-1831）生活在对女性充满偏见的时代。人们认为，女性并不适合从事科学研究工作，解剖学家甚至声称：女性的大脑结构较男性简单。在这样的时代，绝大多数女性失去了接受高等教育的机会。彷徨之中的索菲偶然在父亲的书房里发现蒙蒂克拉的书，读到了阿基米德的故事，深感数学是世界上最有魅力的学科，于是下定决心学习数学。为了阻止她，父亲没收了她的蜡烛和取暖的工具，但是，在墨水结冰的漫漫冬夜，索菲点起偷偷藏着的蜡烛，身上裹着毯子，依然故我，勤学不怠！19世纪法国数学家泰尔凯（O. Terquem，1782-1862）描述了索菲亚年轻时的学习经历：

“在极度痛苦之中，这位年轻的先知在抽象世界中寻求解脱。她浏览蒙蒂克拉的《数学史》，研究裴蜀（E. Bézout，1730-1783）的著作，甚至在1793年血腥的农神节期间，她也闭门不出。她整天沉浸于对勒让德和居森（Cousin）著作中的数论和微积分的思索，成了隐居者。她进步神速。1801年，她伪托巴黎综合工科学校一男生的名字开始了与高斯的通信往来，讨论高斯刚出版的《算术研究》和其他内容。在1804年的战役中，热尔曼家的朋友、炮兵将军佩尔内提（Pernetty）在布伦瑞克把这个冒名的‘学生’的真名告诉给了这位大数学家。从未怀疑过这位通信者性别的高斯吃惊不小。他在后来的通信中对这位年轻的法国人深刻敏慧的心智表示钦佩，由于战争，当时这位德国教授平静的书斋生活被打破，感情上受到了伤害，对我们国家产生了厌恶感，在这种情况下，他对热尔曼的钦佩就越发显得真诚了。”

索菲·热尔曼

高斯在信中这样写道：

“当我得知我尊敬的通信者勒·布朗先生摇身一变，成为这么一个曾经制造出令人难以置信的杰出摹本的名人时，我如何才能描述我的惊讶和钦佩呢？爱好这门抽象的科学，尤其是数的秘密的人如凤毛麟角：这毫不足怪，因为这门崇高科学只对那些有勇气探究它的人展示其迷人的魅力。而当一位女性在通晓其中的难题时，由于性别以及我们的世俗和偏见，她遭遇了比男性多不知多少的障碍，却要克服这些桎梏，洞察隐密奥义，她无疑有着最为高贵的勇气、超凡的才能和卓越的天赋。这门科学为我的生命增添了许多快乐，没有什么事情能比你对它的爱好更令人心悦诚服，更确实无疑地证明它的魅力并非子虚乌有。”

热尔曼最终成为了一代数学名家。

高斯

19世纪的苏格兰人华里司（W. Wallace，1768-1843）是中国人不应忘记的数学家，因为他正是中国历史上上第二部微积分教材《微积溯源》的原作者。少年时代，华里司因父亲破产而辍学，并成了印刷厂的一名学徒工。

华里司偶然结识了一位上了年纪的木匠，而这位木匠当时正受雇于著名物理学家、爱丁堡大学自然哲学教授约翰·罗比逊（J. Robison，1739-1805），做罗比逊的实验助理。老木匠是位有文化、爱读书的人，他虽然对数学一窍不通，但整天和物理学家在一起，耳濡目染，不免对科学怀有一份崇敬之心；并常常因与自然哲学大教授为伍而自豪。他在知道华里司酷爱数学之后，有心把他引荐给罗比逊。华里司学徒期满，老木匠写好推荐信，劝他去找罗比逊教授。他鼓起勇气去了爱丁堡大学。教授告诫：搞数学研究不可能给这个世界带来什么益处。或许，罗比逊是要试试华里司是否真心热爱数学。华里司回答：人活着既然注定要含辛茹苦，他希望用求知的快乐给人生的酒杯加点糖。此言一出，罗比逊当即邀请他来听自己的自然哲学课。罗比逊又把华里司引荐给著名数学家普雷费尔（J. Playfair，1784-1819）。

18世纪末，尽管欧洲的印刷术发展很快，但印后装订仍离不开手工：书页印出后，工人依次将书页堆放成一圈；然后按顺序在每一堆上取一页叠放好，最后装订成册。华里司出师后，在印刷厂做了一名装订工。他每天做的是装订成册之前的那道工序。在枯燥的重复劳动过程中，华里司不忘学习，在墙上贴满拉丁词汇表，转一圈，必记上一个拉丁文单词。就这样，他学会了拉丁文，并得以钻研欧洲大陆的数学著作。

华里司最终成为爱丁堡大学的数学教授。从学徒到教授，华里司用自己的勤奋书写了人生的传奇故事。

华里司

《微积溯源》的译者、中国数学家华蘅芳（1833-1902）14岁开始自学数学，凡遇到数学书，辄爱不释手。曾用22种方法证明勾股定理，真可谓才华橫溢，后生可畏。

20岁时，华蘅芳来到上海，去墨海书馆拜访著名数学家李善兰（1811-1882）。当时，李善兰和墨海书馆的负责人英国传教士伟烈亚力（A. Wylie，1815-1887）正在合作翻译英国数学家德·摩尔根的《代数学》和美国数学家罗密士（Elias Loomis，1811-1889）的《解析几何与微积分基础》（译名《代微积拾级》）。李善兰这样向他介绍微积分：

“此为算学中上乘功夫。此书一出，非特中法几何尽废，即西法之古者亦无所用矣。”

这是华蘅芳平生第一次知道数学上除了天元术以外，竟然还有微分、积分之术。这对于热爱数学的华蘅芳来说无疑充满了难以抗拒的诱惑力！他从李善兰和伟烈亚力的译稿中抄录数条，拿回家细看，结果，茫茫然一无所获。

华蘅芳与《微积溯源》

几年后，中国第一本微积分教材《代微积拾级》出版了，李善兰送了一本给华蘅芳。展卷披阅，不知所云。的确，如果我写出书中的一个公式给你看——

你一定会看傻眼。无奈之下，华蘅芳只好又跑到墨海书馆，向李善兰求教。李善兰如是说：

“此中微妙，非可以言语形容，其法尽在书中，吾无所隐也。多观之，则自解耳。是岂旦夕之工所能通晓者哉！”

听了李善兰的话后，华蘅芳拿《代微积拾级》“反复展玩不辍，乃得稍有头绪”。华蘅芳对自己学习微积分的这个艰难过程作了一个精彩的比喻：

“譬如傍晚之星，初见一点，旋见数点，又见数点、数百点，以致灿然布满天空。”

《代微积拾级》书影

顺便提一句，伟烈亚力来华前只是一介木匠。英汉两种版本的《圣经》是他学习汉语的唯一工具。他利用两种版本的《圣经》，竟自编了一本英汉词典！来华后，每天只睡6小时，工作之余，手不释卷。

先哲们在困难面前所展现出来的勇气也常常令我们汗颜。

1605年秋，中国著名科学家徐光启（1562-1633）在北京向意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552-1610）了解西方的教育情况。说到数学时，利玛窦盛赞《几何原本》之精，又陈述此书汉译之难，还说起昔日和中国人合作失败的种种经历。的确，要翻译拉丁文版的《几何原本》，谈何容易！且不说徐光启连一个拉丁文单词也看不懂，那么多中国传统数学中所从未有过的数学术语首先就让人望而生畏。可是，徐光启却说：

“吾先正有言：‘一物不知，儒者之耻。’今此一家已失传，为其学者，皆暗中摸索耳。既遇此书，又遇子不骄不吝，欲相指授，岂可畏劳玩日，当吾世而失之！呜呼，吾避难，难自长大；吾迎难，难自消微。必成之。”

其坚定的决心、过人的勇气和强烈的使命感溢于言表。于是，两人口授笔录，反复推敲，三易其稿，终于在1607年春把《几何原本》前六卷译完并出版。

我们今天常说：“困难像弹簧，你弱它就强。”其实，先哲早就说过了。

被誉为“昆虫世界的诗人和预言家”的法布尔（J. H. Fabre，1823-1915）师范毕业后被分配到乡下一个条件十分简陋的、全校教师只能挤在唯一一张校长餐桌上吃饭的学校教书。尽管读师范时学过一些平面几何知识，但作为文科生的他，数学知识、特别是代数知识依然相当贫乏。用他自己的话说，开一个平方根，证明一个球的表面积公式，已经是科学的顶点了。打开一张对数表，立即头晕目眩。可是有一天，一个报考桥梁工程专业的年龄与他相仿的不速之客登门造访。原来，这位年轻人的考试科目中有数学，为了通过这场考试，他希望法布尔能辅导他学代数。真是病急乱投医。法布尔先是吃惊，接着是犹豫；但最后，不知从哪儿来的勇气，他竟然答应人家了：后天开始上课。自己不懂游泳，却要教别游泳，怎么办？勇敢的办法是自己先跳进海里！这样，在濒临淹死的时候也许会产生一股强大的求生力量。可是，法布尔不光对代数一窍不通，而且连一本代数书都没有：他想跳进代数学的深渊，可是连深渊都没有。他想去买一本，可是囊中羞涩，况且他那里可不是巴黎，想买就能买到的。离上课只有24小时。有了！有位教自然科学课的先生，是学校领导层的人物，尽管在学校他有两个单间，但平时住城里，也算是上流社会的人物了。法布尔猜想他房间里必有代数书；但由于人家高高在上，又怎敢开口言借？只有一个办法：偷。如果那时中国作家鲁迅已经写出小说《孔乙己》来该多好，这样法布尔也许不会责备自己了。正逢休假日，四顾无人，法布尔幸运地用自己房间的钥匙打开了那城里度假的主人的房间。天从人愿！双腿有些发抖的小偷从书柜里搜索出三指厚的一本代数书来。

法布尔

神不知鬼不觉，法布尔回到了自己的房间。他急切地打开书本，一页又一页地翻看着，了无兴趣。大半本书翻过去了，突然，他的眼光停在了一个章名上：“牛顿二项式”。誉满全球的17世纪英国大科学家牛顿，他的二项式是怎么回事？强烈的好奇心促使法布尔拿起笔，一边看，一边在纸上写字母的排列和组合，整整一个下午在排列和组合中度过。不可思议，法布尔竟然完全搞懂了。

这下，他可以从容地应对明天的数学课了。这真是与众不同的课，人家从头开始教，而法布尔则几乎是从末尾开始教。他时而耐心地讲授，时而和学生进行讨论，第一次课获得了巨大的成功。牛顿二项式定理大大增加了法布尔的自信心。法布尔继续向更多的代数知识发起冲击，壁炉里的火光伴着他度过了一个又一个不眠之夜。

在知难而进的老师和忠实勤奋的学生共同努力下，他们最后啃完了代数课本。那年轻人如愿以偿，通过了考试，而那本代数书被偷偷地放回了原处。

法布尔继续向解析几何发起了冲击，他这样描述自己的学习历程：

“当我失足掉进一个未知世界时，有时能找到炸药把它炸开。刚开始是小颗粒，颗粒结成小团滚动着，越来越大。从一个定理的斜坡滚向另一个定理的斜坡，小团变成大团，成了有巨大威力的弹丸，它倒退着向后抛，劈开了黑暗，现出一片光明。”

经过一年多的努力，他顺利拿到了数学学士学位。掌握了数学知识，法布尔终于成了“蛛网测量员”。

数学人文，清新隽永；陈年佳酿，历久弥香。一次穿越时空的心灵之约，让我们收获几许心灵的启迪。先哲的数学故事会引发我们对以下问题的思考：

• 对于学业，应该持何种态度？

• 应该如何面对工作、学习和生活中的挫折、失败和错误？

• 应该怎样对待学术权威和世俗偏见？

• 应该怎样看待数学在人一生中所扮演的角色？

最后，我想说，我也是一个讲故事的人。我指望因为讲故事获什么奖。但我知道，因为讲故事，我让自己的数学课变得不再枯无味，让我自己的学生变得更有教养、更有文化、更有追求、更懂得生命的意义。我还想说，如要每一位数学教师都会讲故事，那么，我们的数学教育一定会变得很美好。

附注：本文为华东师范大学数学月讲座。

（全文完）

作者简介：汪晓勤，中国科学院自然科学史研究所博士，现执教于华东师范大学数学系，主要研究方向为数学史、数学文化与数学教育。先后在《自然科学史研究》、《自然辩证法研究》、《自然辩证法通讯》、《数学教育学报》等刊物发表论文170余篇，著有《中西科学交流的功臣——伟烈亚力》、《中学数学中的数学史》、《HPM：数学史与数学教育》等。

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