等差数列中求sn要知道几个条件（如何求未定式数列极限）

相信大家都会应用洛必达法则求未定式函数极限吧。就是对那些可导的无穷小或无穷大之间的积、商、幂关系的函数，通过转化成0比0型或无穷大比无穷大型的未定式极限，然后运用洛必达法则，对分子分母同时求导，可以多次运用洛必达法则，化简得到连续函数的极限，从而得到原极限的值。

那么对未定式数列的极限，你也会解决吗？由于数列不存在可导的问题，所以并不能直接运用洛必达法则，因此必须结合归结原则，才能求未定式数列的极限。例如下面这个数列极限，要怎么求呢：

求数列极限：lim(n->无穷大)(1 1/n 1/n^2)^n.

【这是一个1的无穷大次幂的不定式数列极限，我们可以直接解决它的同类型函数极限】

解：lim(x->正无穷大)(1 1/x 1/x^2)^x=lim(x->正无穷大)((x^2 x 1)/x^2)^x

=e^lim(x->正无穷大)ln((x^2 x 1)/x^2)/(1/x).

【现在指数的这个极限就是0比0型的未定式函数极限，可以直接运用洛必达法则】

因为lim(x->正无穷大)ln((x^2 x 1)/x^2)/(1/x)=lim(x->正无穷大)(2x-(2x^3 x^2)/(x^2 x 1))

=lim(x->正无穷大)((x^2 2x)/(x^2 x 1))=1.

所以lim(x->正无穷大)(1 1/x 1/x^2)^x=e.

由归结原则可知，原极限=e.

事实上，所以此类问题都可以直接运用归结原则，因为当n趋于无穷时, x=f(n)=n也趋于正无穷大，正好是函数极限变量所趋向的点，所以符合归结原则的定义。为了让大家对归结原则有更深入的理解，对这道题再次运用归结原则，提供第二种解法。这次我们要解的函数极限形式会有所变化：

解：lim(x->0 )(1 x x^2)^(1/x)=e^lim(x->0 )ln((1 x x^2)/x).

因为lim(x->0 )ln((1 x x^2)/x)=lim(x->0 )ln((2x 1)/(1 x x^2))=1.

所以lim(x->0 )(1 x x^2)^(1/x)=e.

因为x=1/n->0 , (n->无穷大)，【即当n趋于无穷大时，函数极限变量x正好趋于0 】

由归结原则可知，原极限=e.

两个方法仔细一比较，不难发现第二种解法要简便得多。通过比较，也能发现归结原则的关键点在哪里。你仔细比较过了吗？