震荡区间注意事项（区间套中有一只）

区间套定理是实数完备性的六大基本原理之一，它告诉我们，区间套里都藏着一只“幽灵”，这是怎么回事呢？老黄就在这里就要好好地跟你掰一掰这个问题，并尝试捕捉这只幽灵。本文由两部分组成。前半部分是对区间套定理的证明，是完全符合目前的数学理论的。后半部分尝试解析区间套内这只“幽灵”的实质，你可以看作是老黄在胡掰瞎扯，但老黄还是希望能引起你的共鸣。

区间套定理的内容是这样的：

若{[an,bn]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an,bn], n=1,2,…, 即an≤ξ≤bn, n=1,2,….

用老黄的话说，就是区间套中有一只，且只有一只幽灵ξ。它包含于区间套中的任一个区间，即为所有区间的交集。老黄先证明这个定理：

证：由a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1知:【这是区间套定义的第一个条件】

{an}递增有界，∴{an}有极限ξ，且an≤ξ，n=1,2,….【这是单调有界定理的应用，单调有界的数列必存在极限，且极限是数列的一个界(单调增为上界或单调减为下界)，不要以为这里就抓住ξ这只幽灵了，如果这么容易抓住，它就不叫幽灵了，你只是抓住了它的一个分身而已】

{bn}递减有界，∴{bn}有极限，【还是单调有界定理的应用，但你这里不能直接记{bn}的极限等于ξ，而是需要证明的】

又lim( n→∞) (bn-an)=0，∴lim(n→∞)bn=(lim)( n→∞) an=ξ，【结合了区间套定义的第二个条件，这就证明了{bn}的极限也是ξ。但是别忘了，an<bn，由极限的保不等式性，两个数列的极限是否相等，是存疑的，可以认为{bn}的极限也是这只幽灵的另一个分身，所以你就算前后夹攻，终究还是抓不住这只幽灵，要不然怎么称它为幽灵呢。这里肯定还有很多人不认同老黄的说法，毕竟，两个数列的极限的确是可能也可以相等的。但不要急，最后老黄还会继续深入分析】

且ξ≤bn，n=1,2,…，即an≤ξ≤bn, n=1,2,….【这就证明了克西的存在，接下来证明它的唯一性】

设数ξ’∈[an,bn], n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤bn-an, n=1,2,…，则

|ξ-ξ’|≤lim( n→∞) (bn-an)=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.

这个定理乍看没有什么，但细思极恐。这个ξ可不是一个一般的实数，它其实是一只幽灵，是一个幽灵实数。这可不是老黄故弄玄虚，你听老黄细细给你道来。你想想啊，一个实数，怎么可能同时大于或等于一个数列的各项，又小于或等于另一个数列的各项呢？在宏观的世界里还是可以理解的，因为大于等于和小于等于可以理解为大于或等于，和小于或等于。但在微观世界里，其实并不好理解。

原来啊！当{an}是一个常数列时，ξ就有可能大于或等于an，可以说是ξ附身到an上了。同理，当{bn}是一个常数列时，ξ又附身在bn上，因此克西可以小于或等于bn. 因为an, bn不可能同时为常数列，所以这两点并不冲突。

因此ξ等于an，就不能等于bn，ξ等于bn，就不能等于an。事实上真的如此吗？

当两个数列都不是常数列时，ξ岂不就即不等于an，又不等于bn了吗？那么克西哪去了呢？

事实上，当n趋于无穷时，ξ依然可能附身在an上，也可能附身在bn上。当然，它仍有可能既不附在an上，也不附在bn上。如果ξ附在其中一方的身上，那么[an,bn]上，就只有两个元素。若ξ不附在任何一方的身上，那么[an,bn]上，就只有三个元素。

不论是两个元素，还是三个元素，都是和实数的稠密性矛盾的。最后一种解释就是，区间套最中心的区间的两个端点都是ξ，即，它同时附身在an和bn上。且左端点的ξ小于右端点的ξ，这样它才能形成一个闭区间。试想想，那不就成了ξ本身就是一个闭区间了吗？

事实上，由于非常数列极限的不确定性，虽然{an}和{bn}的极限都等于ξ。但是两个克西之中，至少有一个是不确定的。两个不确定的ξ不相等；一个确定的ξ和一个不确定的ξ也不相等。因此老黄一直说是ξ附身上an上，或bn上，却不说ξ等于an或bn，就是因为它们其实并不相等。

所谓ξ是两个数列相同的极限，只不过是ξ给我们的假象罢了。只是我们凡体肉胎，看不明白罢了。你觉得呢？