通俗易懂讲狭义相对论的数学公式（通俗易懂讲狭义相对论的数学公式）

爱因斯坦的狭义相对论塑造了一个全新的时空观，时间和空间不再是相互独立的，时间和空间也不再是一成不变的，每个观察者都有自己的时间测度！用最简单通俗的方法带大家了解狭义相对论里时间膨胀效应并一步一步推出洛伦兹变换公式！

首先我们先了解下什么是“时间”。怎么定义这个词。你很快会发现这个词很难定义，在做了各种试图定义它的尝试之后，我们不得不承认，我们总是会陷入不得不用时间来定义时间的逻辑怪圈。最后会发现，借助一个外部衡量工具来描述时间，可能是一个避免落入逻辑怪圈的最好方法。比如说一个钟摆，摆动一个来回我们就认为这代表过去了一秒，但是钟摆这种东西不够精确，误差太大，我们不能对这样的外部衡量工具满意。现在，让我们借助强大的思维实验和光速不变原理来构造一个宇宙中最理想、最精确的计时器，我把这个计时器叫做“光子钟”。

光子种原理图

这个光子钟的构造非常简单，但是很实用上下两面镜子相距15厘米，中间有一个光子可以在两面镜子中间来回地反射折腾。光子在两面镜子中间来回弹一次，可以想象成“嘀嗒”一声。我们已经知道光速是恒定不变的30万千米/秒，那么就很容易计算出，这个“嘀嗒”一下的时间是十亿分之一秒，换句话说，“嘀嗒”10亿次就代表时间走过了1秒。现在有了这个强大的光子钟，就不需要太纠结于时间的定义了，我们通过“嘀嗒”的次数来衡量和比较时间这个虚无缥缈的东西。

现在我们来做一个思想实验，假如让一个光子种坐上宇宙飞船，一个光子种留在地面如图2

图2飞船光子飞行距离比地面长

现在请开动脑筋，当地面上的光子钟在来回折腾时，飞船上的光子钟就会从A位置飞到B位置，那么地面的观察者将会看到那个光子钟里面的光子走过的是一条斜线这是显而易见的，如果光子飞过的路径在地面观察者眼里不是斜线的话，光子必定飞到光子钟外面去了。现在我们运用光速不变原理来看一下，由于宇宙飞船上的光子飞行的路线比我手里的光子更长了，那么也就意味着，当我手里的光子钟“嘀嗒”一次的时候，飞船上的光子钟还来不及“嘀嗒”一次。换句话说，当地面上的光子钟“嘀嗒”了10亿次的时候，我看到飞船上的光子钟可能只“嘀嗒”了5亿次(打个比方，不要纠结5亿次是怎么算出来的)，所以我们得出这样的结论：在宇宙飞船上，你的时间过得比我慢！

在地面上的观察者会看到，不仅光子钟的时间变慢了，飞船上与时间有关的所有事情都变慢了，这包括飞船上人的动作，眨眼的速度，甚至是新陈代谢，一切的一切都变慢了。

现在让我们计算一下，时间变慢的尺度和飞船的速度有着怎样的关系？这个计算要用到我们非常熟悉的勾股定理，直角三角形的两个直角边和斜边的关系式：a² b²=c²。看图3

v=飞船相对于地面的速度，t=飞船上经过的时间，t'=地面上经过的时间

勾股定理

下面我们用勾股定理写出这样的等式：（ct')²=（ct)² （vt')²

接下来我们用一点最基础的方程变换的知识，来做点公式变形，我们的目的是要算出以地面为参考系时飞船上经过的时间t和地面上经过的时间t之间的关系式：

第一步，先把括号都去掉得：c²t'²=c²t² v²t'²

第二部，两边同时减去v²t'²得：c²t'²-v²t'²=c²t²

第三部，两边同时处以c²得：t'²-（v²/c²）t'²=t²

最后一步整理成最终形式：t'=（1/√1-v²/c²）t

最后这个公式可能看着难受那就上个图4

有没有很简单

如果你顺着上面的步骤一步步下来，毫无阻碍地得到了最终形式，那么请你深吸一口冷气，因为你发现了这个宇宙中一个最深刻的奥秘，这是迄今为止让人类第一次感到深深震撼的等式，这一刻，我们根深蒂固的时间观念崩塌了。

让我们解读一下它的含义。当v的速度相比光速很小的时候(比如汽车、火车甚至飞机速度都不及光速的百万分之一),则（1/√1-v²/c²）约等于1,这个公式就退回到了我们熟悉的伽利略变换式t=t',但如果我们的速度能达到光速，则t等于无穷大。时间等于无穷大？怎么理解？这就是说随着运动速度的增加，时间会变得越来越慢，最后慢到了停止的地步。假如我们的速度能超过光速呢？那就不得不面临一个负数的平方根，大家知道这叫虚数。那这个虚数用在时间上表示什么？难道这就是传说中的穿越？不，这不代表时光倒流，虚数没有现实意义。

结束语：是不是觉得狭义相对论也不过如此，感觉给自己足够的时间说不定哪一天我们自己都能推导出来！事情没有这么简单，奇妙的时空之旅才刚刚开始。

物理学全明星梦之队

后面我们讲洛伦兹因子，空间收缩的数学推导！喜欢的关注物质和意识，一起打开相对论的大门！

​