哪些定积分找不到原函数（没有初等原函数的定积分如何计算）

牛顿-莱布尼兹公式告诉了我们求积分的方法，但不是所有的函数都是可积的，其中苏联数学家切比雪夫在这方面做了深入的研究，例如像sinx/x和（1 x^4）^1/2就没有初等表达式（或称之为反导数），这不仅意味着不能对sinx/x和（1 x^4）^1/2应用牛顿-莱布尼兹公式，而是意味着根本不存在这样的初等表达式。

但数学家是非常聪明的，当不能用牛顿-莱布尼兹求定积分时，我们转向本篇要叙述的梯形法来解答这类的数值问题。以及这些方法的实际应用价值，给你不一样的数学视野。本篇相当简单，你会切身体会它的使用价值。

1. 梯形逼近：

当我们必须对f积分而又求不出它的一个可用的反导数（初等原函数）时，我们就分隔积分区间，在每个子区间上用十分拟合的多项式代替f，积分多项式，并且把结果相加以逼近f的积分，我们从给出梯形的直线段开始。

像下图所显示的那样，如果把（a,b）分割为长度皆为h=（b-a）/n的n个子区间，f在（a,b）上的图像在每个子区间上可用直线段逼近。

因此在曲线和x轴之间的区域可用梯形组逼近，每个梯形的面积是水平方向的“高度”和垂直方向的两个“底”的平均值的乘积，我们把梯形面积相加，x轴上方的面积看做正；而x轴下方的面积看做负的：

其中

梯形法说的是：用T估计f从a到b的积分

所以总结：梯形法为逼近

我们用

各y在f的分点是

的函数值，其中h=（b-a）/n

我们使用n=4时的梯形法估计如下定积分的值

分隔（1,2）成四个等长的子区间，再求x^2在每个分点的值

在梯形法中利用这些y值，n=4和h=(2-1)/4=1/4,我们有

积分的精确值是

可以发现它们相对发误差值是：（2.34375-7/3）/(7/3)=0.00446

我们可以预见梯形法给出例子中积分过剩的估计，因为抛物线从上看是凹的，逼近线段位于曲线上方，每个梯形就给出比对应曲线下的带形稍大的面积。

我们再来看一个有关平均值得实例：

观察者从中午到下午每隔一小时测量一次室外温度，那么12小时周期内的平均温度是多少呢？

我们考察一个连续函数的平均值，需要用到如下简单的微积分中值定理

但上述是函数在间隔为1个单位的离散时刻的值，就无法使用中值定理，所以运用梯形法就很方便

用梯形法逼近微积分中值定理，我们得到

最终得到平均温度是65度

下一篇将讨论抛物线来，看它和梯形法有什么不同