判断级数收敛或发散例题（判断数项级数收敛的一般方法）

在上一期我们讲了什么是数项级数，什么是数项级数收敛以及数项级数收敛的柯西收敛准则。

除了柯西准则之外还有四个常用的判断数项级收敛的方法，接下来我们就一个个地讲解一下。

第一个方法是比较原则。

和是两个正项级数（正项级数就是级数中的每项都是正数，即 >0, ＞0，n=1,2,…）。

在上一期我们说过，一个级数如果收敛，那么它的部分和数列｛sₙ｝的极限存在或者

｛sₙ｝有界。

即，当n趋近于无穷大的时候，

sₙ=u₁ u₂ … uₙ=s（s是一个确定的数）

此时，我们就说∑

如果存在一个N，当n＞N时，有，那么我们令和 的部分和分别为

；，

由于当n＞N时，

所以＜

我们令；

我们要知道级数就是研究无穷多个数相加是否有结果，我们已知“存在一个N，当n＞N时，有

”，这个N不管有多大，只要它存在就会是一个明确的数，在级数当中，在第N项之后，还会有无穷多项。

从而，不管 和 谁大谁小，在第N项的后面会有无穷多个，

进而，。即， ＜。

如果 收敛，那么

由于 ＜，所以=a

所以， 有界。

因此， 收敛。

如果发散 ，那么。

由于 ＜，所以

所以， 有界。

因此， 收敛。

所以，我们可以得到这样一个结论：

设 和 是两个正项级数，如果存在某个正整数N，对一切n＞N都有

，则

（1）若级数 收敛，则级数 也收敛；

（2）若级数 发散，则级数 也发散。