中考瓜豆原理之轨迹练习（赛老师九年级备战中考）

先记住一句话

种瓜得瓜，种豆得豆。

用瓜豆原理可以解决什么问题

可以确定动点的轨迹是直线还是圆，从而求取线段最值。

使用瓜豆原理，必须满足的条件

主动地点、被动的点与定点连线的夹角是定量；

主动的点、被动的点到定点的距离之比是定量；

请记住这3种点：主动运动地点、被动的点、定点；

这三种点是解题关键。

主动的点运动的轨迹与被动的点运动轨迹一致，要么都是直线，要么都是圆。

从两种轨迹，来说明瓜豆原理轨迹为直线

一、看下图（1）：

图（1）瓜豆1

如图，点A为定点，点P是主动运动的点，在BC上运动，点Q为被动运动的点，AP:AQ=2,符合瓜豆原理。点P运动为直线，所以点Q运动也为直线。△PQF与△PAG始终相似，QF始终等于AG的一半。

二、看下图（2）：

图形（2）瓜豆2

如图，点A为定点，点P是主动运动的点，在BC上运动，点Q为被动运动的点，AP:AQ=1.

∠PAQ为定值，符合瓜豆原理。点P运动为直线，所以点Q运动也为直线。

必记结论，如图（2）中右图：

P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）

三、例题

如下图，2019年宿迁中考真题：

例题

第一步：判断是否符合瓜豆模型：判断出定点为点E，主动运动的点F，被动的点为点G,∠FEG为定值60°，EF:EG为定值1。符合瓜豆模型，所以点G运动为直线。

第二步确定这条直线：两点确定一条直线，所以取两个特殊的位置就可以了。

如下图：

例题图（1）

可取点F在B点处和FG∥BC时两种特殊位置，可确定点G运动的轨迹。

第三步：解题：点到直线，垂直线段最短。

请看下图：

例题图（2）

由瓜豆原理可得∠GHA=GEF=60°，从而易求得∠LCB=60°,因为∠GEB=∠LCB=60°,所以GE与LC平行。如图构造一个矩形和含60°角的直角三角形。可得CG'=1 1.5=2.5.

动态演示如下图：

动态演示

举一反三：

举一反三

可以做做试试。

另，以上的宿迁的中考真题，确定轨迹后，如想不到构造矩形和特殊角直角三角形，可考虑构造平面直角坐标系，用一次函数来求G'的坐标来求。

可以试试，可参考我的文章《赛老师：九年级，备战中考，建立平面直角坐标系，速求线段长度》。

轨迹为圆

一、看下图（3）：

瓜豆图形（3）

如上图，点A为定点，点C是主动运动的点，在圆O上运动，点B为被动运动的点，AC:AB=2，符合瓜豆原理。点C运动为圆，所以点B运动也为圆。

难点在于确定被动点圆心和半径，设被动点的圆心为E，未提到角度问题，所以点E在AO上，AO:AE=AC:AB,它们之间的半径必也等于AC:AB，可得出半径和圆心。

二、看下图（4）

瓜豆图形（4）

如上图，点A为定点，点P是主动运动的点，在圆O上运动，点Q为被动运动的点，AP:AQ为定值k,∠PAQ为定值a°，符合瓜豆原理。点P运动为圆，所以点Q运动也为圆。

怎么确定被动点的圆心和半径？

设被动点的圆心为E，AO旋转a°到AE，AO:AE=AP:AQ=OP:QE,可确定圆心和半径，从而能画出点Q的运动轨迹。

三、例题

如下图：

例2

第一步：判断是否符合瓜豆原理，点A为定点，点P为主动运动的点，点B为被动运动的点，AB:AB=1,∠PAB=60°为定值，符合瓜豆原理。所以点B运动的轨迹与点P运动的轨迹相同，均为圆。

第二步：因为AB:AB=1，所以两个圆的半径相同。

第三步：求出答案，B点运动的轨迹为一个半径为2的圆，求出它的周长，即可。

动态演示，如下图：

动态演示2

举一反三：

如下图：

举一反三2

可以试试，做一做。

结束语

瓜豆模型，你觉得怎么样？欢迎在评论区留下你的想法。

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