中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)

先记住一句话

种瓜得瓜,种豆得豆。

用瓜豆原理可以解决什么问题

可以确定动点的轨迹是直线还是圆,从而求取线段最值。

使用瓜豆原理,必须满足的条件

主动地点、被动的点与定点连线的夹角是定量;

主动的点、被动的点到定点的距离之比是定量;

请记住这3种点:主动运动地点、被动的点、定点;

这三种点是解题关键。

主动的点运动的轨迹与被动的点运动轨迹一致,要么都是直线,要么都是圆。

从两种轨迹,来说明瓜豆原理轨迹为直线

一、看下图(1):

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(1)

图(1)瓜豆1

如图,点A为定点,点P是主动运动的点,在BC上运动,点Q为被动运动的点,AP:AQ=2,符合瓜豆原理。点P运动为直线,所以点Q运动也为直线。△PQF与△PAG始终相似,QF始终等于AG的一半。

二、看下图(2):

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(2)

图形(2)瓜豆2

如图,点A为定点,点P是主动运动的点,在BC上运动,点Q为被动运动的点,AP:AQ=1.

∠PAQ为定值,符合瓜豆原理。点P运动为直线,所以点Q运动也为直线。

必记结论,如图(2)中右图:

P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时,∠PAQ等于MN与BC夹角)

三、例题

如下图,2019年宿迁中考真题:

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(3)

例题

第一步:判断是否符合瓜豆模型:判断出定点为点E,主动运动的点F,被动的点为点G,∠FEG为定值60°,EF:EG为定值1。符合瓜豆模型,所以点G运动为直线。

第二步确定这条直线:两点确定一条直线,所以取两个特殊的位置就可以了。

如下图:

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(4)

例题图(1)

可取点F在B点处和FG∥BC时两种特殊位置,可确定点G运动的轨迹。

第三步:解题:点到直线,垂直线段最短。

请看下图:

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(5)

例题图(2)

由瓜豆原理可得∠GHA=GEF=60°,从而易求得∠LCB=60°,因为∠GEB=∠LCB=60°,所以GE与LC平行。如图构造一个矩形和含60°角的直角三角形。可得CG'=1 1.5=2.5.

动态演示如下图:

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(6)

动态演示

举一反三:

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(7)

举一反三

可以做做试试。

另,以上的宿迁的中考真题,确定轨迹后,如想不到构造矩形和特殊角直角三角形,可考虑构造平面直角坐标系,用一次函数来求G'的坐标来求。

可以试试,可参考我的文章《赛老师:九年级,备战中考,建立平面直角坐标系,速求线段长度》。

轨迹为圆

一、看下图(3):

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(8)

瓜豆图形(3)

如上图,点A为定点,点C是主动运动的点,在圆O上运动,点B为被动运动的点,AC:AB=2,符合瓜豆原理。点C运动为圆,所以点B运动也为圆。

难点在于确定被动点圆心和半径,设被动点的圆心为E,未提到角度问题,所以点E在AO上,AO:AE=AC:AB,它们之间的半径必也等于AC:AB,可得出半径和圆心。

二、看下图(4)

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(9)

瓜豆图形(4)

如上图,点A为定点,点P是主动运动的点,在圆O上运动,点Q为被动运动的点,AP:AQ为定值k,∠PAQ为定值a°,符合瓜豆原理。点P运动为圆,所以点Q运动也为圆。

怎么确定被动点的圆心和半径?

设被动点的圆心为E,AO旋转a°到AE,AO:AE=AP:AQ=OP:QE,可确定圆心和半径,从而能画出点Q的运动轨迹。

三、例题

如下图:

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(10)

例2

第一步:判断是否符合瓜豆原理,点A为定点,点P为主动运动的点,点B为被动运动的点,AB:AB=1,∠PAB=60°为定值,符合瓜豆原理。所以点B运动的轨迹与点P运动的轨迹相同,均为圆。

第二步:因为AB:AB=1,所以两个圆的半径相同。

第三步:求出答案,B点运动的轨迹为一个半径为2的圆,求出它的周长,即可。

动态演示,如下图:

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(11)

动态演示2

举一反三:

如下图:

中考瓜豆原理之轨迹练习(赛老师九年级备战中考)(12)

举一反三2

可以试试,做一做。

结束语

瓜豆模型,你觉得怎么样?欢迎在评论区留下你的想法。

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