机械能守恒实验有哪些公式（实验验证机械能守恒）

实验原理与操作

一、数据处理

方法一：利用起始点和第n点计算

代入gh_n和½vn²，如果在实验误差允许的情况下，gh_n＝½vn²，则验证了机械能守恒定律。

方法二：任取两点计算

(1)任取两点A、B，测出h_AB，算出gh_AB；

(2)算出½vB²-½vA²的值；

(3)在实验误差允许的情况下，若gh_AB＝½vB²-½vA²，则验证了机械能守恒定律。

方法三：图象法

从纸带上选取多个点，测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v²，然后以½v²为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出½v²－h图线。若在误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。

二、误差分析

1．减小测量误差：一是测下落距离时都从0点量起，一次将各打点对应下落高度测量完，二是多测几次取平均值 。

2．误差来源：由于重物和纸带下落过程中要克服阻力做功，故动能的增加量ΔE_k＝½mvn²必定稍小于重力势能的减少量ΔE_p＝mgh_n，改进办法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力。

三、注意事项

1．打点计时器要竖直：安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直平面内以减少摩擦阻力。

2．重物密度要大：重物应选用质量大、体积小、密度大的材料。

3．一先一后：应先接通电源，让打点计时器正常工作，后松开纸带让重物下落。

4．测长度，算速度：某时刻的瞬时速度的计算应用v_n＝(hn＋1－hn－1)/2T， 不能用v_n＝或v_n＝gt来计算。

题型一 考查实验原理与实验操作

【典例1】

如图甲为验证机械能守恒定律的实验装置示意图。现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平。回答下列问题。

(1)为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有________。(填入正确选项前的字母)

A．米尺

B．秒表

C．4～6 V的直流电源

D．4～6 V的交流电源

(2)下面列举了该实验的几个操作步骤：

A．按照图示的装置安装器件；

B．将打点计时器接到电源的“直流输出”上；

C．用天平测出重锤的质量；

D．先接通电源，后释放纸带，打出一条纸带；

E．测量纸带上某些点间的距离；

F．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能

其中操作不当的步骤是________。

(3)实验中误差产生的原因有__________________________________________。(写出两个原因)

(4)利用这个装置也可以测量重锤下落的加速度a的数值。根据打出的纸带，选取纸带上连续的五个点A、B、C、D、E，测出各点之间的距离如图乙所示。使用交流电的频率为f，则计算重锤下落的加速度的表达式a＝________。(用x₁、x₂、x₃、x₄及f表示)

【典例2】(1)在利用重锤做自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，有关重锤的质量，下列说法正确的是( )

A．应选用质量较大的重锤，使重锤和纸带所受的重力远大于它们所受的阻力

B．应选用质量较小的重锤，使重锤的惯性小一些，下落时更接近于自由落体运动

C．不需要称量重锤的质量

D．必须称量重锤的质量

(2)在该实验中，选定了一条较为理想的纸带，如图所示，“0”为起始点，以后纸带上所打的各点依次记为1、2、3……，测得的x₁、x₂、x₃……是重锤从开始运动到各时刻的位移。已知打点计时器的打点周期为T，重锤质量为m，重力加速度为g，则当打点计时器打点“4”时，重锤动能的表达式为________________；从“0”点到“4”点的过程中重锤重力势能的减少量表达式为________________。

题型二 考查实验数据处理及误差分析

一、数据处理

1．求瞬时速度

由公式v_n＝(hn＋1－hn－1)/2T可以计算出重物下落h₁、h₂、h₃…的高度时对应的瞬时速度v₁、v₂、v₃…

2．守恒验证

方法一：利用起始点。

利用起始点和第n点计算。代入gh_n和½vn²，如果在实验误差允许的范围内，gh_n＝½vn²，则机械能守恒定律得到验证。

方法二：任取两点

(1)任取两点A、B测出h_AB，求出gh_AB。

(2)求出A、B两点的瞬时速度，求出½vB²-½vA²的值。

(3)如果在实验误差允许的范围内，gh_AB＝½vB²-½vA²，则机械能守恒定律得到验证。

方法三：图象法。

从纸带上选取多个点，测量从第一个点到其余各点的下落高度h ，并计算各点速度的平方 v² ，然后以½v²为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出½v²－h图线。

若在误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。

二、本实验注意事项

(1)打点计时器安装要稳固，并使两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。

(2)实验中，需保持提纸带的手不动，待接通电源，打点计时器工作稳定后才松开纸带让重物下落。

(3)过程开始和终结位置的选择：实验用的纸带一般小于1 m。从起始点开始大约能打出20个点。终结位置的点可选择倒数第一个点或倒数第二个点，从这一个点向前数4～ 6个当作开始的点，可以减小这两个点瞬时速度及两点之间的距离(高度h)的测量误差。

(4)由于mgh＝½mv²，故实验只需验证hg＝½v²即可，不需要测出物体的质量m。

(5)某时刻瞬时速度的计算应用v_n＝(hn＋1－hn－1)/2T，不要用v_n＝√2gh 来计算。

(6)虽然本实验不需要用天平测重锤的质量，但在选取重锤时，应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小。

(7)在上面的实验过程中要求“要挑选第一、二两点间的距离接近2 mm的纸带进行计算”，其实也可以回避起始点，不过机械能是否守恒的表达式就变为：mgΔh＝½mv2²－½mv1²，Δh为所选的起点到末点的高度差。

三、纸带的选取

关于纸带的选取，我们分两种情况加以说明：

(1)用½mv²＝mgh验证：这是以纸带上第一点(起始点)为基准验证机械能守恒定律的方法．由于第一点应是重物做自由落体运动开始下落的点，所以应选取点迹清晰且第1、2两点间的距离接近2 mm的纸带。

(2)用½mvB₂－½mvA²＝mgΔh验证：这是回避起始点，在纸带上选择后面的某两点验证机械能守恒定律的方法。由于重力势能的相对性，处理纸带时选择适当的点为基准点，势能的大小不必从起始点开始计算。这样，纸带上打出起始点O后的第一个0.02 s内的位移是否接近2 mm，以及第一个点是否清晰也就无关紧要了。实验打出的任何一条纸带，只要后面的点迹清晰，都可以用于计算机械能是否守恒。

当然，实验开始时如果不是用手提着纸带的上端，而是用夹子夹住纸带的上端，待开始打点后再松开夹子释放纸带，打点计时器打出的第一个点的点迹清晰，计算时从第一个计时点开始至某一点的机械能守恒，其误差也不会太大。回避第一个计时点的原因也包括实验时手提纸带的不稳定，使第一个计时点打出的点迹过大，从而使测量误差加大。

四、误差分析

(1)偶然误差：测量相关长度时带来的，减小的方法是多测几次取平均值。[来源:Zxxk.Com]

(2)系统误差：实验过程中要克服阻力(主要是打点计时器的阻力)做功，故动能的增加量ΔE_k必定稍小于势能的减少量ΔE_p.再者，交流电的频率f不是50 Hz也会带来系统误差．若f>50 Hz，由于速度值仍按频率为50 Hz计算，频率的计算值比实际值偏小，周期值偏大，算得的速度值偏小，动能值也就偏小，使E_k<E_p的误差进一步加大；根据同样的道理，若f<50 Hz，则可能出现E_k>E_p的结果。

【典例3】 在用落体法验证机械能守恒定律时，某小组按照正确的操作选得纸带如图所示。其中O是起始点，A、B、C是打点计时器连续打下的3个点。用毫米刻度尺测量O到A、B、C各点的距离，并记录在图中。(已知当地的重力加速度g＝9.80 m/s²，重锤质量为m＝1 kg，计算结果均保留3位有效数字)

(1) 图中的三个测量数据中不符合有效数字读数要求的是________段的读数，应记作________cm。

(2) 甲同学用重锤在OB段的运动来验证机械能守恒，他用AC段的平均速度作为B点对应的瞬时速度v_B，则求得该过程中重锤的动能增加量ΔE_k＝________J，重力势能的减少量ΔE_p＝________J。这样验证的系统误差总是ΔE_k________ΔE_p(选填“>”、“<”或“＝”)。

(3)乙同学根据同一条纸带，同一组数据，也用重锤在OB段的运动来验证机械能守恒，将打点计时器打下的第一个点O记为第1个点，图中的B是打点计时器打下的第9个点．因此他用v＝gt计算与B点对应的瞬时速度v_B，求得动能的增加量ΔE_k＝________J．这样验证的系统误差总是使ΔE_k________ΔE_p(选填“>”、“<”或“＝”)。

(4)上述两种处理方法中，你认为合理的是________同学所采用的方法．(选填“甲”或“乙”)

【典例4】验证“机械能守恒定律”的实验采用重物自由下落的方法(g＝9.8 m/s²)：

(1)通过验证½mv²＝mgh来验证机械能守恒定律时，对纸带上起点的要求__________；为此，所选择纸带的第一、二两点间距应接近________。

(2)若实验中所用重物质量m＝1 kg，打点纸带如图所示，所用电压频率为50 Hz，则打点时间间隔为________，则记录B点时，重物的速度v_B＝________，重物动能E_kB＝________。从开始下落起至B点，重物的重力势能减少量是________，因此可得出的结论是：________________________。(结果保留两位有效数字)

(3)根据纸带算出相关各点的速度v，量出下落距离h，则以½v2为纵轴，画出的图像应是图中的________，图线的斜率表示________。

题型三 考查实验的改进与创新

以本实验为背景，通过改变实验条件、实验仪器设置题目，不脱离教材而又不拘泥教材，体现开放性、探究性等特点。

1：实验器材的改进

①由系统动能、重力势能的变化验证机械能守恒，所用实验器材：光电门、气垫导轨。

②通过小球自由落体运动的闪光照片验证机械能守恒。

2：实验原理的迁

【典例5】如图为利用气垫导轨(滑块在该导轨上运动时所受阻力可忽略)“验证机械能守恒定律”的实验装置，请完成以下填空。

实验步骤如下：

①将气垫导轨放在水平桌面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平。

②测出挡光条的宽度l和两光电门中心之间的距离x。

③将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2。

④读出滑块分别通过光电门1和光电门2时的挡光时间Δt₁和Δt₂。

⑤用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m。

⑥滑块通过光电门1和光电门2时，可以确定系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为E_k1＝________和E_k2＝________。

⑦在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔE_p＝________。(重力加速度为g)

⑧如果满足关系式________，则可认为验证了机械能守恒定律。

【典例5】图甲是验证机械能守恒定律的实验。小圆柱由一根不可伸长的轻绳拴住，轻绳另一端固定。将轻绳拉至水平后由静止释放。在最低点附近放置一组光电门，测出小圆柱运动到最低点的挡光时间Δt，再用游标卡尺测出小圆柱的直径d，如图乙所示，重力加速度为g。则

(1)小圆柱的直径d＝________ cm。

(2)测出悬点到圆柱重心的距离l，若等式gl＝________成立，说明小圆柱下摆过程机械能守恒。

3)若在悬点O安装一个拉力传感器，测出绳子上的拉力F，则要验证小圆柱在最低点的向心力公式还需要测量的物理量是____________(用文字和字母表示)，若等式F＝__________成立，则可验证向心力公式F_n＝mv²/R。

题型四 验证机械能守恒的其他方案----用冲击摆验证机械能守恒定律

将冲击摆的支架T 按如图所示安装，使摆锤A处在底座的外面，摆锤A为一小铁皮盒，内部放一个可以自由活动的铁球，在刻度板P的最低点装上一块铁板K，它能阻挡摆锤A的运动，但不阻挡摆锤内放置的铁球的运动。整套装置靠近桌边放置，在铁板K上的N点悬挂一根重垂线，指示出在地面的投影N′点，在地上铺上白纸，盖上复写纸以便记录铁球落地的位置。

本实验以摆锤A为研究对象，实验时拉起摆锤使悬线偏离α角时，摆锤升起一定的高度，因而具有重力势能，然后让摆锤由静止开始释放，这时重力势能就逐步转化为动能，经过最低点时其重力势能将全部转化为动能，此时摆锤和存放在摆锤内的铁球具有相同的速度。摆锤遇到铁板K时将停止运动，而铁球由于惯性将离开摆锤做平抛运动，只要测出铁球做平抛运动的初速度，就等于测出了摆锤在最低点的速度，于是便可验证机械能是否守恒了。

从上图中可看出，摆锤下落的高度H＝L(1－cosα)(式中L为悬线长度)，摆锤打击铁板K的速度可由铁球的平抛运动测得v＝s√(g/2h)式中s为铁球做平抛运动的水平位移，h为下降高度)。

如果机械能守恒，则有mgL(1－cosα)＝½m(s√(g/2h))²，即s＝

，只要证得此关系式成立，就验证了机械能守恒定律．一般情况下，由于存在摩擦，s略小于

才是正常的。

【典例6】 如图所示装置可用来验证机械能守恒定律。长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端系一摆锤A，在A上放一个小铁片。现将摆锤拉起，使绳偏离竖直方向θ角，由静止开始释放摆锤，当其到达最低位置时，受到竖直挡板P阻挡而停止运动，这时铁片将做平抛运动而飞离摆锤，用刻度尺量出铁片的水平位移为s，下落高度为H.。

(1)要验证摆锤在运动中机械能守恒，必须求出摆锤初始位置离最低点的高度，其高度应为________，同时还应求出摆锤在最低点时的速度，其速度应为________。

(2)用实验中测量的物理量写出验证摆锤在运动中机械能守恒的关系式为________。

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