几何数学平行四边形竞赛题(初中数学竞赛趣题)

以任意四边形ABCD四条边为基础向外做正方形,连接相对两正方形的中心。

求证:这两条线段NP、MO垂直且相等

几何数学平行四边形竞赛题(初中数学竞赛趣题)(1)

分析:这题是全国初中数学竞赛真题,题目较为新颖,其中四边形的任意性也能具有中心垂直相等的结论,也是非常具有数学的美感。

此题主要考察全等三角形的手拉手模型,通过构造手拉手来证明线段的关系。

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解答:很明显,这是一道手位手模型题,准确一点说,应该是手位手拉手拉手模型……

普通手拉手的基本思路是,寻找一个含有两个基础正方形的图形,旋转到合适角度,构造全等形。对于本题这个DOUBLE手拉手的情况,求证的两条线段长度位置明显是由四个正方形共同决定的,只含有两个正方形元素的图形旋转不能直接搞定。猜测方向应该是构造两个含有求证线段的全等三角形,含有两个基础正方形的图形旋转各自搞定一条边。

按下图做辅助线,其中Q为AC中点:

几何数学平行四边形竞赛题(初中数学竞赛趣题)(2)

其中两组紫色和绿色的三角形是我们构造的手拉手三角形。

易证紫色一对三角形EBC与三角形ABH全等,所以AH=EC,且AH垂直于EC。

由中位线定理,OQ平行且等于AH,且OQ=AH/2, QN平行EC,且QN等于EC/2

从而OQ垂直且等于QN

同理可证PQ垂直且等于MQ

所以∠OQM=∠PQN, 一对绿色三角形OQM和NQP全等,结论成立。

你想到了吗?


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