怎样制作1000倍天文望远镜（望远镜是怎么做出来的）

数学家在研究一个问题时却得到了意料之外的结果。很多时候，这样的“副产品”的价值往往会超过原有工作本身。

16世纪，意大利数学家卡丹（Cardano，1501-1576）、邦贝利（Bombelli，1526-1572）等在解“三次方程”时，遇到了“整数可以用含√-1的式子表示”的矛盾，复数因此产生.

17世纪，牛顿（Newton，1643—1727年）发现了广义“二项式定理”，并无意间将其运用到级数展开、及无穷分析上，直接导致了他的另一项著名成果——“流数法”的发现，也就是我们熟悉的微积分.

牛顿

18世纪，数学家们对欧几里得《几何原本》中的“第五公设”保持疯狂的研究，不断的证明、推翻最终导致19世纪“非欧几何”的诞生。

而在更久远的古希腊，对著名的“三大作图”之一——“倍立方”问题的解决则导致了三个重要曲线的发现，它们分别是：抛物线、双曲线、椭圆.

“倍立方”问题：

能否用尺规作图的方法作出一立方体的棱长，使该立方体的体积等于一给定立方体的两倍？

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“倍立方”问题

希俄斯岛的希波克拉底（Hippocrates of Chios，前470 -前410 BC）对“化圆为方”和“倍立方”问题都有深入研究，之于前者Hippocrates发现了“月牙定理”。

月牙定理

之于后者，Hippocrates将“倍立方”问题转化为：找出满足连比式a/x=x/y=y/2a所表达的曲线。其中，a为已知立方体边长，x为所求立方体边长.

作为一个勇敢的拓荒者，Hippocrates在解决“倍立方”问题上所付出的努力，已经为“圆锥曲线”的发现指明了方向。他的继承者们只要按照指示、稍做努力，就能从这座希望之岛上发现无穷的宝藏。亚历山大大帝的老师，梅内克缪斯 (Menaechmus，约前380–前320) 是第一个拥有高超的洞察力，并有资格继承Hippocrates研究的人。

一、圆锥曲线的第一个定义

在Hippocrates研究的基础上，Hippocrates用垂直于母线的平面截正圆锥得到了三个圆锥曲线:锥顶∠BAC为直角时得到抛物线，锥顶∠C'BC为钝角时得到双曲线一支，锥顶∠B'CB为锐角时得到椭圆。

这里将抛物线放在首位，是因为人们首先发现并深入研究的并不是椭圆，而是抛物线。得到了抛物线的同时，Hippocrates还发现在“坐标”的基础上，其表达式可以表示为：x^2=my. 进一步的，作出两条抛物线：x^2=ay及y^2=2ax. 其交点P(x,y)的横坐标x满足X^3=2*a^3.

边长为x的正方体体积是边长为a的正方体的体积的两倍。“倍立方”问题被解决了吗？如果不考虑尺规作图，是的。但是很遗憾，这里用到了曲线，尽管得到了x的解，可该问题并没有多大进展，因为此方法已超出了“尺规作图”的范畴。事实上，后来已被证明，“倍立方”是不能以尺规作出来的.

显然，Hippocrates也没能解决“倍立方”问题，但对于数学的意义，其研究所产生的“副产品”——圆锥曲线为数学增添了更多活力。以此为基础，同一世纪的阿基米德发明了“聚光镜”成功击退敌军，求抛物线下的面积为17世纪微积分的发现提供很好的启示。以上牛人的发展与创新固然是重要的，但对圆锥曲线研究最彻底的还是下面这位几何大师。

二、圆锥曲线的双圆锥截线定义

如果非要为古希腊数学家排名，我想排在前三的一定会是：阿基米德、欧几里得和阿波罗尼奥斯。阿基米德（Archimedes，公元前287年—前212年）以《论球和圆柱》等10余本对纯数学及应用数学都影响巨大的数学名著而跻身古今顶级数学家前列；欧几里得（Euclid，公元前450-前374年）则凭借他的演绎式几何巨著《几何原本》而大出风头。

最后一位——阿波罗尼奥斯（Apollonius ，约公元前262～前190年）更是以8卷的《圆锥曲线论》把古希腊数学推向巅峰。Apollonius的工作要点是继承和推广了Hippocrates等希腊数学家对圆锥曲线研究，使其更加趋于完善、统一。

Diagram from Apollonius' Conics, in a 9th-century

在定义上，Apollonius使用了共顶点的两个圆锥，并用不同方向的平面去截圆锥，同样得到了Hippocrates所发现的三类曲线：

当在曲线上任取一点，纵坐标上的正方形都等于横坐标与通径所成矩形时，该曲线为抛物线(Parabola).大于时，该曲线为双曲线(Hyperbola).小于时，该曲线为椭圆(Ellipsis)。

这里使用“坐标”一词并非Apollonius的本意，但他的思想中的确已经有了坐标的思想。用现代符号表示，相当于说当y^2=m*x时，为抛物线；y^2>m*x时，为双曲线;y^2<m*x时，为椭圆. 等于、大于、小于，Apollonius在给圆锥曲线重新取名字也是很有讲究的，如，这里的Parabola有“贴合”的意思，而Hyperbola、Ellipsis分别可以引申为“超出”和“缺少”，和上面的定义不谋而合。

要知道，数学家处理问题的方式，不仅认真，而且还很有讲究。

在给出了圆锥曲线新的构造、定义及命名后，Apollonius不但第一个发现了双曲线有两支，而且几乎讨论了圆锥曲线的所有性质，让后人无法插足.而且目前高中生学习的圆锥曲线几乎所有几何内容，都源自《圆锥曲线论》。下面为大家略举一例。

现在教科书中通用的椭圆/双曲线的第一定义；“到两定点[焦点]的距离之和（之差）为定值的点的集合是椭圆（双曲线）.”（当然，定义中椭圆要求定值大于焦距，双曲线要求定值小于焦距.）。最早也以定理的形式出现在《圆锥曲线论》中——椭圆/双曲线的焦半径之和/差等于长轴长[焦半径即椭圆上的点到焦点的距离]。

但和其他数学著名一样，《圆锥曲线论》也留有遗憾。如，该书只是以上面的形式间接的出现了椭圆和双曲线的“焦点”。对于抛物线，由于没有关于“准线”的定义及研究，其重要定义“到定点[焦点]的距离等于到定直线[准线]距离的点的集合”在书中并没有出现。对此，数学史家有两种截然不同的看法：一种是认为“焦点、准线”等概念被遗漏了，另一种则认为在Apollonius其他的著作中已经有了明确表述，因此就不用在《圆锥曲线论》中赘述了。

不管怎样，这都是《圆锥曲线论》难以愈合的伤痛。为此，公元3世纪的帕普斯Pappus开了一副良药——在《数学汇编》中，他补充给出了圆锥曲线的如下性质：到定点（焦点）的距离比上到定直线（准线）的距离为定值（离心率）.并将其归功于欧几里得.

到此为止，圆锥曲线理论算是暂时达到了完美的境地，在接下来一千多年里，除了在11世纪被海亚姆（Omor Khayyam，1048-1131年）用于求三次方程的根以外，圆锥曲线研究再无新的重要进展，圆锥曲线沉寂了。

海亚姆（Omor Khayyam，1048-1131年）

三、圆锥曲线在实际应用中重生

直到16世纪，天文学、力学、以及光学的重要运用让圆锥曲线在浴火中重生了。

1609年，德国著名数学家开普勒（Kepler，1571—1630年）在《新天文学》上发表了他的行星运动定律之“轨道定理”——每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。紧接着，伽利略（Galilei，1564-1642年）给出了弹道轨迹是抛物线的结论。

行星运行轨迹——椭圆

17世纪望远镜的发明，尤其是1672年卡塞格林（Cassegrain ）的望远镜（结合双曲线、抛物线的光学性质）让科学更加离不开“圆锥曲线”

卡塞格林望远镜

原理

这三项重大应用加上古希腊便已熟知的“聚光镜”作用，大大增强了人们研究圆锥曲线的好奇心。圆锥曲线研究再次起航。

在同期的1579年蒙蒂（Monte,1545~1607）抛弃了古希腊人的定义方法（截面定义），把椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。这是我们现在教科书常用的结论，后来被法国数学家洛必达（Hôpital,，1661-1704）引入其著作《圆锥曲线分析》中。但是对于圆锥曲线除了引入概念以外，并没有更新颖的想法被引入。

洛必达（Hôpital,，1661-1704）

到了17世纪，情况就有所不同了。法国数学家笛卡尔（Descartes，1596—1650年）在研究尺规作图、帕普斯问题时，将“几何”与“代数”相融合.费马（Fermat，1601-1665年）则以《平面与立体轨迹导论》为起点.分别开始了他们的“解析几何”之旅。

费马（Fermat，1601-1665年）

这是一场新的革命，之于“圆锥曲线”也是一个新的起点。至此，研究“圆锥曲线”便不再完全依赖于几何的方法，只要建立直角坐标系，给出一个x与y的二次方程，便能知道对应的曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，甚至它们的一切性质都变得简单了.

进入18、19世纪，“圆锥曲线”的性质研究没有更多值得关注的，但至少有一个发现例外。法国数学家丹迪林（Dandelin ，1794 - 1847年）以一种更为直观的方式呈现了“椭圆”的定义： 在圆锥里上下各塞进相离内切球，球面与切截平面的切点就是焦点，得到椭圆．

性质几乎没有新的发现，但是18以后“圆锥曲线”在应用上却超乎人们想象：电影放映机的聚光灯、高压疝气灯的聚光器、摄影用的“双叶旋转双曲面”、手电筒、探照灯、卫星发射天线......这一切都超出了人们尤其是古希腊先贤们的想象，而且“圆锥曲线”还在不断拓宽我们的视野。 你觉得“圆锥曲线”将带给我们的下一个惊喜是什么呢？

数学，改变了我们的生活，让我们一起为伟大的数学家们致敬。

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