数学立体几何三棱锥外接球问题（一招解决高考立体几何外接球问题）

高考立体几何的小题里，外接球的问题被很多学生认为是一个难点。今天这节课我们就来把这类问题一次性研究清楚。你会发现，原来“难点”并不难，很可能只是自己在关键点的把握上始终似是而非，才一直为难下去。

题目说“一招解决”，不夸张，真的就是一招，这招就是高中课本中的那个定理：

球的任一截面圆心和球心的连线垂直于该截面。反之，球心在球的任一截面上的射影是该截面的圆心。

这个有点类似于初中学的平面几何“垂径定理”的定理，可以衍生出很多的结论。这些结论不需要记住，而是要理解。

对于小圆（球的不过球心的截面）和它的任意一个内接三角形，内接三角形的外心即小圆的圆心。

所以我们知道，球心必然在过内接三角形外心、垂直于内接三角形所在平面的直线上。也就知道，对于一个球内接几何体，它的各个面过外心的垂线必然交于一点，这点就是球心。

例1. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2，则此棱锥的体积为 ___ ．

分析：SC为球O的直径，O是SC的中点，由点O在过△ABC外心且垂直于底面ABC的直线上，知点S到底面ABC的距离等于点O到底面ABC的距离的2倍，且后者很容易就求到。

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具体解决数学问题时，有如下方法：

一是球心在一个面过外心（这里不限于指三角形外心了，而是拓展为到平面内各顶点距离相等的点）的垂线上。作出这条垂线，在其上设出球心，根据球心到各顶点距离相等，列方程求解。例如我们常见的棱锥外接球问题。

例2. 高为2^(1/2)/4的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、 D均在半径为1的同一个球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ___ ．

如果是直棱柱，其实问题一样，只不过是变成了球心在上下两平行底面的过外心的共同垂线上。（圆柱的情况下，外心就成底面圆心了。）

例3. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9/8，底面周长为３，则这个球的体积为 ___ ．

特别地，当直棱柱的上下底面是正方形，问题就变成了我们熟悉的长方体外接球问题。此时体对角线为外接球直径，d=2R=(a b c)^(1/2)。

当一个三棱锥的某顶点处三条棱两两垂直（“墙角”型）时，也可以“补形”成长方体来处理。甚至更广泛的条件下，也可以构造长方体来处理。

例4. 已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB垂直于平面BCD，BC垂直于DC，若AB=6，AC=2·(13)^(1/2)，AD=8，则B、C两点间的球面距离是 ___ ．

分析：可以构造一个以A、B、C、D为顶点，AD为体对角线的长方体。

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二是球心直接由两个面过外心的垂线的交点得出。

还是上面给出的例4.

分析：球心是过直角三角形ABC外心（即AC中点）和直角三角形BCD外心（即BD中点）的垂线的交点。

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还是第一节课说的那个道理：“万变不离其宗”。接住高考数学里的外接球问题，看起来很多招，“直接法”、“构造法”……其实本是一招。

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