行测数量关系知识点讲解（数量关系方法精讲）

【知识点】周期余数：

1.题型特征：出现循环或周期，问第/过N个（天、年）。是循环分布的，比如ABCDABCD……。注意区分“第”和“过”，二者是有区别的。

2.补例1：1月1号是星期一，问1月份第16天（1月16号）是星期几？

答：16天可以挨个数，但如果是第300天就不能数，可以按照整周期考虑，将 16 天按照 7 天一个周期去数，16/7=2……2，因此第 16 天等价于第 2 天（后边的余数）。起点是1月1号，是周一；第二天是1月2号，是周二，因此本题答案是周二。

3.解题思路：

（1）找周期：确定周期的起点和长度。比如补例1中，起点是1月1日，周一；长度是一周的长度，7天。

（2）算余数：总数（N）÷周期=m个周期…余数（n）。要求的是第16天， 16/7=2 个周期……2 天，即第 2 天。

（3）做等价：第N项就等价于该周期的第n项；过N天就等价于该周期的 过n天。等价于余数，第16天等价于第2天，第一天是1月1号，周一，第二 天为1月2号，周二。大数不会数，但是等价于一周以内就比较好数。

4.补例2：1月1号是星期一，问再过16天是星期几？

答：起点是 1 月 1 号，周一，长度是一周 7 天。过 16 天/7=2 个……2 天，过 16 天等价于过 2 天，从起点开始，1 月 1 号是周一，过 1 天是周二，过 2 天是周三。从起点开始，如果是“第”，则余数是第几天；如果是“过”，则余数是过几天。

5.注意：

（1）如果是整除，相当于余0，和余周期数是一样的，即周期的最后一天。

（2）过n天=第n 1天，比如过1天，相当于第2天。

【知识点】周期相遇：

1.题型特征：出现多个小周期，求再次相遇。

2.解题思想：找多个小周期的最小公倍数。

3.补例：小刘每2天去一次图书馆，小凯每3天去一次图书馆，8月1日两人同时去了图书馆，问下一次两人同时去图书馆的日期？

答：出现两个小周期，求再次相遇日期，小刘每次去都是2的倍数，小凯每次去都是3的倍数，两人同时去，则既满足2的倍数又满足3的倍数，即多个小周期的最小周期——6的倍数，6天去一次，8月1日～8月6日是一个周期，下一次去是8月7日（过6天）。 过6天相当于第7天，不理解可以画图，小刘是8月1日、8月3日、8月5日、8月7日去，小凯是8月1日、8月4日、8月7日去，两人第一次同时去是8月1日，下次同时去是过了6天，即第7天。

4.注意点：两次相遇之间是过了一个完整周期。

5.难点：这种题目的难点是周期相遇和周期余数结合考查。

【注意】1.每隔 n 天=每（n 1）天。

【知识点】短周期：

1.识别：周期较短（一个月左右）。

2.做法：枚举。

【注意】1.短周期（一个月左右）问题最好画图，找周期思维量比较大。

【小结】周期问题：

1.周期余数：

（1）识别：出现循环或周期,问第/过N个。

（2）做法：明确周期→计算余数→确定结果。

（3）注意：①起点；②第和过。

2.周期相遇：

（1）识别：出现多个小周期,问再次相遇。

（2）做法：最小公倍数。

（3）注意：每隔n天=每（n 1）天。

3.短周期：

（1）识别：周期较短（小于一个月或者一个月左右）。

（2）做法：枚举。

第八节 容斥原理

【知识点】容斥原理：难点是公式的理解，理解透彻则不难，否则会觉得比较复杂。类似高中（高一）学习的集合问题，但是我们学习的比高中简单。

1.容斥原理本质：去重补漏。多了去掉，少了补上。

2.考查类型：两集合容斥原理；三集合容斥原理。

3.解题方法：公式法；画图法。

4.两集合容斥原理：看到两集合，有交叉、重叠，即图中中间的位置，为两集合容斥原理问题。

（1）理解：将框架理解为窗框，要想给窗框糊窗户纸，只能有一层，先糊A，再糊 B，为 A B，则中间位置有两层，需要揭掉一层 AB，为 A B-AB，此时还差外围都不满足的需要加上，得到A B-AB 都不=总数。

（2）公式：A B-AB 都不=总数。

【注意】1.画图法：题目中所给或所求公式里没有，公式法不好用（往往是出现只满足某一个条件）。

2.只要题目没有具体数据，都可以赋值（90%以上的题目）。

【知识点】三集合标准型公式：

1.判定：分别给出两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）。给的都是“既……又……”的关系，有的时候没有“既……又……”这两个字，可以自行补上，对题目没有影响。

2.公式：A B C-AB-AC-BC ABC 都不=总数。

【知识点】三集合非标准型公式：

1.判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）。注意：数学中只满足两种和满足两种是一样的，都不包含三种的情况。

2.公式：A B C-满足两项-2*满足三项 都不=总数。

3.区分：只要看“满足两种”是否包含“满足三种”的情况，如果包含，是标准型；如果不包含，是非标准型

【注意】三集合标准型与非标准型的区分：

1.标准型判定：分别给出两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）。

2.非标准型判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）。整体已经是三者加和的形式。

3.本质区分：看有没有包含“三个都满足”，

4.推导的时候，标准公式：-AB、-AC、-BC 的时候，还减掉了三层的部分，共减掉的三次，因此需要加上一次ABC；非标公式：满足两项是如图红色的区域，此时还没有减去三层的，要再减去两次三层的。

【知识点】容斥原理的方法选择：能用公式用公式，不能用公式就画图。

1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分。

2.画图法：题目中所给所求公式里没有，公式法不好用（往往是出现只满足某一个条件）。

3.画图法三步走：出现“只满足某一个条件”时运用。

（1）第一步，画圈圈：两集合画两圈，三集合画三圈。

（2）第二步，标数字（从里到外，注意去重）：先标最中间，最中间的定了才能标外围。

（3）第三步，列算式。

【小结】容斥原理：

1.公式：

（1）两集合（比较简单）：A B-AB=总数-都不。

（2）三集合：

①标准型（分开给）：A B C-AB-AC-BC ABC=总数-都不。

②非标准型（一起给）：A B C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。

③常识公式（要么满足一项，要么满足两项，要么满足三项）：满足一项 满足两项 满足三项=总数-都不。

2.画图（出现只满足某一个条件）：

（1）画圈圈，标数据。

（2）从里到外，注意去重。

第九节 经济利润

1.常用公式：

（1）利润=售价-进价。

（2）利润率=利润/进价=利润/成本。

（3）售价=进价 利润=进价 进价*利润率=进价*（1 利润率）。

（4）折扣=折后价/折前价。八折为原价的80%，五折为原价的50%。

（5）总价=单价*数量；总利润=单个利润*数量。

（6）资料分析中利润率=利润/收入，数量关系中利润率=利润/进价，分母不同，因为成本比较难核算，因此资料分析中都是除以收入。

（7）经济利润平均每年考查1道，深圳平均每年考查2道，2019年深圳考查了4道。

2.常考类型：前两类考查比较多。

（1）基础经济。

（2）分段计费。

（3）函数最值。

一、基础经济

1.解题方法选择：

（1）已知具体价格，求具体价格（利润、成本、售价）：列式、列方程。

（2）已知比例，求比例（利润率、折扣）：没有具体数值，赋值法。

2.经济利润问题中档题居多，难题不会考查，但是计算量比较大，或者可能会有小坑。

二、分段计费

1.题型判定：生活中水电费、出租车计费、税费等，每段计费不同。问：在不同收费标准下，一共需要的费用？

2.计算方法：

（1）按标准，分开。

（3）计算后，汇总。

3.补例：某地出租车收费标准为：3公里内8元，超出3公里，每公里2元，小刘坐车行驶10公里，共花费多少钱？

答：方法一：假设路程为 S，当 S≤3km 为 8 元；当 S＞3km，每公里 2 元。 10 公里超过了 3 公里，因此先交 8 元。超出 10-3=7 公里，每公里 2 元，列式：8 （10-3）*2=8 14=22 元。

方法二：画线段。0～3公里为8元，S＞3公里时2元/公里。

三、函数最值

【知识点】函数最值：开始看着比较可怕，但技巧性比较强。

1.题型判定：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？

2.计算方法（两点式）：设提价次数为x。

（1）令总价/总利润为 0，解得 x1、x2。

（2）当 x=（x1 x2）/2 时，取得最值。

【小结】经济利润：

1.基础经济（考查较多）：

（1）公式：

①利润=售价-进价。

②利润率=利润/进价。

③折扣=折后价/折前价。

④总价=单价*个数。

（2）方法：公式法、赋值法（a=b*c三个量只知其一）。

2.分段计费（考查比较少）：

（1）水电费、出租车费、税费等。

（2）分段计算、汇总求和。

3.函数最值：找 x1、x2。

（1）识别：

①单价和数量此消彼长。

②求最大利润或售价。

（2）方法：两点式。

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