数的起源和发展历史 数的起源和发展历史

在一次采访当中，作为数学家的 Thom 同两位古人类学家讨论问题。 谈到远古的人们为什么要保存火种时，一个人类学家说，因为保存火种可以取暖御寒；另外一个人类学家说，因为保存火种可以烧出鲜美的肉食。而 Thom 说，因为夜幕来临之际，火光摇曳妩媚，灿烂多姿，是最美最美的。

——《Heroes in my heart》

火种的保存为原始人们带来了现实的发展与神秘的美丽，而数的发现亦标志着现实与审美的原始进展 。我们每个人从幼年开始就熟悉数的概念，不同的东西在计数的意义下可以有相同的量，而这个抽象出来的量我们称之为数。

我相信数的概念也许是人类抽象思维的起始，一个我们现在习以为常但却是伟大的发现。相同个数的不同物质彰显出一种共性，一个不与物体的形状大小或是材质相关的性质，为了表达它我们必须摒弃所有表面物体，代之以一个更加普适更加一般的内蕴量，我们称之为数。

把两批物体放在一起我们发现他们在计数意义上有了改变，而改变的量与两批物体各自原本的量有关，我们定义出加法。类似的，取出物体的观察告诉我们减法。把物体分成许多批，每批有相同的数量，把这些批放在一起计数之时我们发现了乘法，而逆向的操作则定义了除法。由此我们发现了正整数以及其相关的四则运算，它直接根植于现实世界的观察，它的存在在我看来本身就是这个宇宙的奇迹。

小学老师教给我们的是仅仅是实数可以写成小数点的形式，并且可以组成一条直线以及进行四则运算。反复的练习可以让我们并不费劲的掌握实数的基本性质，并进行基本的运算。学校的练习可以轻易让受过教育的人相信实数的存在并熟练的使用它，就像呼吸一样自然。但任何人只要稍加深入的去思考实数本身，就会发现它的意义的模糊。

从正整数出发，我们可以并不复杂的得到整数和有理数的概念及其四则运算，只需要考虑加法以及乘法的逆向操作并加以一定抽象，它仍然是直接相关于现实。与之相比，我们从小熟悉的实数则要隐晦的多。

小学老师教给我们的是仅仅是实数可以写成小数点的形式，并且可以组成一条直线以及进行四则运算。反复的练习可以让我们并不费劲的掌握实数的基本性质，并进行基本的运算。学校的练习可以轻易让受过教育的人相信实数的存在并熟练的使用它，就像呼吸一样自然。但任何人只要稍加深入的去思考实数本身，就会发现它的意义的模糊。

一个与芝诺悖论类似的问题是 0.99999........是否等于 1。问题的本质在于0.99999........究竟意味着什么，换句话说实数究竟是什么，无穷小数的表达究竟是什么含义。要回答这些问题并不简单，事实上它困扰了人类近千年之久，我们现在通常称之为第二次数学危机。在解释实数的含义前，我们先讨论实数是如何被发现的。

√2的发现引发了第一次数学危机。

有理数的发现可以说直接来自于现实观察，与之伴随的四则运算为我们提供了一系列运算法则，例如平方，立方。一个自然的问题是是否所有数都是某个数的平方，很容易看见答案是否定的，没有有理数的平方能够等于2，所以√2是没有意义的。然而勾股定理的发现告诉我们√2是边长为1的直角三角形的斜边长度，所以√2是有意义的，这构成了一个矛盾，后来被称为第一次数学危机。

另一个著名的发现是圆周率，它同样超出了当时的数的理解。从后来的观点看，问题在于有理数太少并不足以包含所有的数。

第一次数学危机的解决可以看作是代数的一个大进展，我们承认√2以及其他类似的数是数，并且它们组成了一个更大的数系，使得我们同样可以进行四则运算。我们注意到类似√2这样的数来源于寻求某种特殊的四则运算的组合的逆，以现代的术语来说，就是求解一个有理数系数的多项式方程。这种直接基于有理数及其四则运算所构造的数组成了一个大得多的数系，但它们是否包含了实数？或者更特殊的，圆周率是否存在于这一数系中？后一问题就是著名的化圆为方问题，它在提出两千多年后才被林德曼于1882年解决。我们看到这一数系仍然不够大，并不足以包含所有的实数。那么问题在哪里，这些多出来的像 π 一样的数到底是什么。从历史的眼光来看，答案来自于数学的另一个重要概念——极限。

关于极限的想法古已有之，著名的芝诺悖论就是一例，然而这些想法大多都太过模糊，并不足以精确到给出数学意义。转折发生于17世纪，由牛顿及莱布尼兹创立的微积分彻底改变了数学以及科学界，我们现在通常把这一时期视为现代数学的开端。这里提出的新的微分积分以及极限的操作运算极大地丰富了数学，并且深刻的应用于现实世界，我们第一次有了超越四则运算的工具。尽管收获了巨大的成功，一些基础的问题仍然遗留了下来，极限的精确意义究竟是什么？

从17世纪到19世纪早期，微积分的发展是如此的迅猛，许多杰出的数学家忙着开疆拓土，凭借成熟而精确的直觉完成了许多宏伟大厦的建设，然而重要的地基却被相对忽略了。根基的不牢必然会带来问题，当这些问题显现之时，数学家开始慢慢投入更多精力与其上，试图将数学建立于严格的逻辑基础之上。从极限被提出之时起，数学家就意识到它与实数密切相关。

极限的意义在于无穷逼近于一点，而逼近的概念必须由距离所定义。幸运的是我们很容易定义有理数上的距离，只要取两点之间的差的绝对值就行了，它仍然是有理数，所以它是完整定义的。这里有一个重要的概念我们在之前的讨论中选择性的忽略了，它就是可序性，亦即比大小。实数中应存在大小的概念，而有理数中大小的概念很明晰。当我们讨论逼近时，我们需要让距离不断变小，距离和小都必须有数学上的意义，经验告诉我们实数上需要有距离和大小的意义。幸运的是，在有理数上不论距离还是大小我们都已经有了完整的定义，结合我们之前的期待，实数应该存在距离和大小从而允许定义极限运算，另外四则运算法则也必须能够拓展到实数上。

一个自然的想法是我们可以从有理数出发试图从极限运算构造实数，就像我们从四则运算或者多项式构造根号2这类数一样。这一想法被证明是可行的，我们可以构造实数作为有理数的无穷序列{a_n} n=1,2,3......，这些序列直观上需要收敛到一个实数，而为了使它收敛，它必须具有一个性质——当n不断变大的时候，a_n相互之间的距离必须不断变小。另外注意到不同的序列可以收敛到同一个实数，这一点只要两个数列的数相互不断接近就可以办到，所以必须等同不同的序列当它们满足这一条件之时。我们可以归纳这一构造如下：

定义：

实数是一个无穷序列的集合 {{a_n} n=1,2,3...... a_n 是有理数并且满足 |a_n - a_m| 任意小当n和m都足够大时}， 这个集合里的两个不同序列{a_n}和{b_n}定义同一个实数如果 |a_n - b_n| 任意小当n足够大时。

特别的，我们可以回到0.99999......是否等于1的问题。0.99999......在这里被解释为一个无穷序列 {0.9, 0.99, 0.999, ......} 而1我们同样解释为无穷序列 {1，1，1，1，......}，注意到这0.99 = 99/100， 0.999 = 999/1000等等都是有理数。这两个序列显然不一样，但他们根据我们的定义定义出同一个实数，因为很明显 |1 - 0.999 | = 0.001，|1 - 0.9999 | = 0.0001, ......在不断变得任意接近于零。我们看到当我们给出明晰的定义时，0.99999......是等于1的。

这一定义将实数基于严格的逻辑上，它直接根植于有理数。如果你继续逻辑上的追问，也许会问有理数或者整数的逻辑基础是什么，这是现代数理逻辑试图回答的问题，它深刻涉及了20世纪的逻辑学，其深入探讨了无穷的本质。回到定义本身，我们可以用有理数的四则运算作用到序列上的每个数从而得到一个新序列，这定义了实数的四则运算。所有学过基本分析的人都能立即意识到这一构造具有更广泛的意义，数学上称之为完备化。仔细观察这一定义我们会发现，定义实数只需要距离和大小的概念，而四则运算则很容易从有理数的运算得到。这里我们所选取的距离概念基于绝对值，而这是最符合我们日常经验的。也许你会问是否有理数上存在其他的距离，从而我们可以利用相同的完备化构造定义不同的数，答案是肯定的。我们可以对于每个素数p定义一个距离如下：

定义:

取 x 和 y 为有理数，它们的差 x - y 同样是有理数并可以写成可以写成 x - y = a/b, 这里a，b都是整数，运用素数的分解我们可以写成 x - y = p^n(c/d)，这里c 和 d 是整数并且与p互素，n也是整数，我们定义x和y之间的距离为1/(2^n)。

对于每一个素数p，我们可以对这一距离作完备化并得到一组新的数，我们称之为p-进数。四则运算以及极限都可以与实数类似定义，但是它们与实数有一个重要的区别——实数有序结构，而p进数没有。换句话说，我们无法比较两个p进数的大小， 可以证明实数的序结构以及极限的存在性唯一确定了实数本身。

Peter Scholze 。

进一步地，也许你会问是否有理数上还有其他的距离从而定义更多的数系，出乎意料的是答案是否定的，实数和p进数是所有的有理数的完备化所能构造的数。一个自然的问题是为什么要考虑p进数，它有什么意义？p进数在1897年由汉塞尔发现，比实数晚了很长时间。它的意义在于它比实数有更多的算术结构，能帮助我们更好的理解整数或者有理数本身。100多年来，它在数学上经历了巨大的发展，帮助解决了数论上许多的大问题，比如95年怀尔斯证明费马大定理。21世纪特别是最近几年，p进数上的数学经历了巨大的革命性的发展，尤其是其上的几何。一个不得不提的名字是Peter Scholze，如今只有30岁，他发展了新的p进数的几何理论，其影响辐射到了大量其他领域。近来，p进数甚至在理论物理上也发现了新的应用，特别是高能物理。新的理论试图用p进数解释宇宙，也许p进数比实数更接近真实。

我们介绍了实数有理数以及p进数等不同的数，对其的理解和挖掘吸引了一代代的学者投入毕生精力，并且不断吸引更多的后来者。其中的深刻与美丽“是造物者之无尽藏也”。