四边形面积公式大全（圆内接四边形的面积）

圆内接四边形的面积

如果给定圆的内接四边形的边长分别为a, b, c, d，设s=(a b c d)/2, 即四边形周长的一半 那么有四边形的面积为：

证明：延长CB与DA相交于E （若DA平行于CB，则找另一条对边，如果两条对边都平行则是该定理的特例）， 设CE=x, DE=y,

我们用[X]表示图形X的面积，利用三角形的求面积的海伦公式，（详见本人主页海伦公式的证明）

但三角形CDE与三角形ABE相似，隐含着：

由此可以推出：

根据相似性，有下列比例：

将上面的两个式子相加：

将两式相减：

由此求出海伦公式中的各项为：

将其带入开头的海伦公式里：

最后得出四边形ABCD的面积：

后记：上述公式是公元7世纪由一位印度数学家叫布拉马古普塔(Brahmagupta)发现的，这个公式如果让四边形的一个边消失，比如d=0，那么四边形就变成三角形，显然就是海伦定理。同样此处证明也利用了海伦定理。