高三数学冲刺题集（高三数学晨晚练）

第一讲　直线与圆 ，下面我们就来聊聊关于高三数学冲刺题集?接下来我们就一起去了解一下吧!

高三数学冲刺题集

第一讲　直线与圆

高考定位　　1.圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注。此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现。

2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。

考向一 直线的方程

典型例题

1、　(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)

A．1或3 B．1或5

C．3或5 D．1或2

(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1<m<4)，C(4,2)，则当△ABC的面积最大时，m＝(　　)

A． B．

C． D．

1、答案　(1)C　(2)B

自我总结

直线方程应用的两个关注点

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况。

(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意。

变式训练

2．(2018·江门模拟)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是(　　)

A．－8　　　 B．－

C．8　　　 　 D．

2、答案　D

3．(2018·河南名校联考)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则的最小值为(　　)

A．　　　　 B．

C．1　　　 　 D．

3、答案　C

考向二 圆的方程

典型例题

4、　(1)(2018·珠海联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

(2)(2018·贵阳摸底)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________。

4、答案　(1)B　(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8

自我总结

求圆的方程的两种方法

(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径。

(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。

变式训练

5．抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________。

5、答案　(x－1)2＋y2＝4

6．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________。

6、解析　解法一：由题意得：半径等于＝＝≤ ≤，当且仅当m＝1时取等号，所以半径最大为r＝，所求圆为(x－1)2＋y2＝2。

解法二：直线mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒过点M(2，－1)，如图，设C(1,0)，则M为切点时半径最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2。

考向三 直线与圆的位置关系

典型例题

7、　(1)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________。

(2)设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为(　　)

A．±　 　B．± C．±3　　 　D．±9

7、答案　(1)y＝2x＋1或y＝x＋1　(2)B

自我总结

(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路

研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较。

(2)弦长的求解方法

①根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2。

②根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l＝|y1－y2|求解。

③求出交点坐标，用两点间距离公式求解。

变式训练

8、(2018·合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

8、解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，圆心到直线l的距离为d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，易知圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，因为d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0。故选B。

9、(1)(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6] B．[4,8]

C．[，3] D．[2，3]

(2)(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

9、解析　(1)因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点。所以A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2。因为点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，所以圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离d1＝＝2。故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的取值范围为[，3]。则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故选A。

(2)解法一：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值。故选C。

解法二：由题意可得

d＝＝

＝

＝

，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取最大值3。故选C。

变式训练

10．(2018·太原五中模拟)已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝k2－2k＋3的公共点，则ab的最大值为(　　)

A．15 B．9

C．1 D．－

10、解析　由题意得，圆心到直线x＋y＝2k的距离d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因为2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以当k＝－3时，ab取得最大值9。故选B。

答案　B

11．(2018·山西晋中二模)由直线y＝x＋1上的一点P向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为______。

11、解析　设圆心M到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2，所以|PM|的最小值为2。所以切线长l＝≥＝。则切线长的最小值为。

课后练习

1．(考向一)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

1、答案　A

2．(考向三)(2018·郑州外国语中学调研)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)

A．2　　　 　 B．4

C．8　　　 　 D．9

2、解析　由题意可知，圆C1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立，所以＋的最小值为9。故选D。

答案　D

3．若曲线y＝1＋与直线kx－y－2k＋4＝0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C. D.

3、解析：选C　注意到y≥1，曲线y＝1＋是圆x2＋(y－1)2＝4在直线y＝1的上方部分的半圆．又直线kx－y－2k＋4＝0⇒y－4＝k(x－2)知恒过定点A(2,4)．如图，由B(－2,1)，知kAB＝＝，当直线与圆相切时，＝2，解得k＝，故实数k的取值范围是.

4．已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是(　　)

A．2 B．4

C. D．2

4、解析：选B　根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．

设点P到圆心的距离为d，求|AB|的最小值等价于求d的最大值，易知dmax＝＝，

所以|AB|min＝2＝4.

5．已知P是过三点O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)的圆M上一点，圆M与x轴、y轴的交点(非原点)分别为S，T，则|PS|·|PT|的最大值为(　　)

A．25 B．50

C．75 D．100

5、解析：选B　设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

则

解得D＝－8，E＝6，F＝0.

所以圆M的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，

即(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8.

令x＝0，得y2＋6y＝0，解得y＝0或y＝－6.

所以S(8,0)，T(0，－6)．

而圆心(4，－3)在直线ST上，

所以PS⊥PT.

即|PS|2＋|PT|2＝(2r)2＝100.

所以|PS|·|PT|≤(|PS|2＋|PT|2)＝50.

所以(|PS|·|PT|)max＝50.

6．(2018·合肥质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

6、解析：选B　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，计算出弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有＝1，解得k＝－，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.

7．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是(　　)

A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0

C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0

7、解析：选B　由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为2，因为∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，边长为2，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝＝3，解得k＝，所以此时直线l的方程为4x－3y－5＝0.

8．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是(　　)

A．(，＋∞) B．[，＋∞)

C．[，2) D．[，2)

8、解析：选C　当|＋|＝||时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，此时k＝.当k>时，|＋|>||.又直线与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，故k<2，综上，k的取值范围为[，2)．

9．已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(　　)

A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0

B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0

C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0

D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0

9、解析：选D　当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝2，则P，Q的坐标为(2，)，(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心到直线PQ的距离d＝，又|PQ|＝2，所以S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝≤＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值.因为2<，所以S△OPQ的最大值为，此时＝，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0.

10、　(1)(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6] B．[4,8]

C．[，3] D．[2，3]

10、解析　因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点。所以A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2。因为点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，所以圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离d1＝＝2。故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的取值范围为[，3]。则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故选A。

11、(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

11、解法一：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值。故选C。

12、(2018·郑州外国语中学调研)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)

A．2　　　 　 B．4

C．8　　　 　 D．9

12、解析　由题意可知，圆C1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立，所以＋的最小值为9。故选D。

答案　D

13、(2018·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________。

13、解析　因为所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，所以设所求圆的圆心为(a，－a)。又因为所求圆与直线x－y＝0相切，所以半径r＝＝|a|。又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。

答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2

14、(2018·南宁、柳州联考)过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于______。

14、解析　

令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－。

答案　－

15、某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆C的方程为________。

15、解析　由题意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直线ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直线的距离为＝，因为直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝。

答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝

16、(2018·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________。

16、解析　因为所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，所以设所求圆的圆心为(a，－a)。又因为所求圆与直线x－y＝0相切，所以半径r＝＝|a|。又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。

答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2

17、已知圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点．

(1)求圆C的方程；

(2)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

17、【解】　(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r，

即＝＝r，解得a＝0，r＝2，故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.

(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.

因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有d＋d2＝1.

又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，

所以S＝|PQ|·|MN|＝×2××2×

＝2

＝2≤2

＝2＝7，

当且仅当d1＝d时，等号成立，

所以四边形PMQN面积的最大值为7.

18、 已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.

(1)求圆C的方程；

(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求·；

(3)求证：|AN|·|BM|为定值．

18、【解】　(1)易知圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，

故可设C(a，a)，圆C的半径为r.

因为直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2，且r＝，

所以C(a，a)到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝＝，

所以a＝0或a＝170.

又圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，

所以a＝0，此时r＝2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.

(2)将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.

设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，

则x1＋x2＝－1，x1x2＝－.

所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.

(3)证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8.

当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)，

直线PA的方程为y＝x＋2，令y＝0得M.

直线PB的方程为y＝(x－2)，令x＝0得N.

所以|AN|·|BM|＝

＝4＋4

＝4＋4×

＝4＋4×

＝4＋4×＝8，

综上，|AN|·|BM|为定值8.

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