量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)

最小作用量原理是物理学中最基础的原理,也是影响最深远的原理之一。在上一次的文章中,我们利用最小作用量原理推导了广义相对论的运动方程,即短程线/测地线方程。今天,我们利用该原理来推导量子场论的基础方程——克莱因-戈登方程,它是薛定谔方程的狭义相对论形式,用来描述自旋为零的粒子。不过,在推导该方程之前,我们先来简单的复习复习一下拉格朗日函数的推导过程。

复习

粒子从A点到B点的轨迹遵循最小作用量原理。在拉格朗日的方法中,动能减去势能为拉格朗日量,然后将拉格朗日量沿着路径积分为作用量,如下所示:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(1)

根据最小作用量原理,我们要找的是使作用量S最小的粒子的轨迹。假设我们找到了真实的粒子轨迹,对于任意时间下的轨迹x(t),我们都在其轨迹上加一个微小的摆动ε(t)。在极限情况下,这些微小的摆动所引起的作用量变化ΔS=0,如下所示:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(2)

因此我们重写拉格朗日量,并略去高阶小量:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(3)

于是,我们重写扩展后的拉格朗日量:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(4)

那么,拉格朗日量之差ΔL就有如下公式:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(5)

又因为

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(6)

所以我们可以最终得到:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(7)

先看前一项:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(8)

虽然它的轨迹添加了一些微小的摆动ε,但是起点和终点的是固定的,也就是说ε=0,所以这一项就等于零了。因此,我们就剩下的后一项为零:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(9)

所以,被积函数就得等于0:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(10)

正文

在量子场论中,中心对象不再是粒子的坐标x(t),而是场Φ(x,t)。此时的被积函数不是传统的拉格朗日量L,而是拉格朗日密度。同样,它与场的动能和势能密度有关:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(11)

我们可以写出场的动能和势能密度的公式,就可以得到拉格朗日密度的公式:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(12)

同样,我们在场中加入微小的摆动ε(x,t),利用同样的道理求得拉格朗日量之差:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(13)

因此,我们有:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(14)

按照上面的方法,前面那项的积分为零,因此我们就有:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(15)

于是,我们最终得到卡莱茵-戈登方程:

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(16)

它是非常有名的波动方程,如果我们把参数κ设为0,那么它就变成了以光速传播的波的方程。事实上,可以通过比较爱因斯坦能量动量方程,我们可以得到参数κ=mc/ℏ,有时间我们下次再讲。

量子理论推导电导率(利用最小作用量原理)(17)

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