蝴蝶定理推导1（蝴蝶定理之十二）

上篇文章最后提到，前面好多问题的本质都是一个模型：

若D为∠BAC角平分线上一点，F点满足过F作DF垂线，交AB、AC于M、N，且MF=NF。

则F的轨迹为D在AB、AC上垂足J、K连线所在的直线(除AD直线外)。

这是很容易证明的，前面也已经说过。

当然这里一个自然的进一步的问题是：若D不在∠BAC角平分线呢？

一般叙述为：

对于给定的两条交于A的直线和定点O，动点P满足过P作OP垂线交两直线于C，D。

且PC=PD。求动点P的轨迹

我的基本思路是通过几何画板探索，先在直线上任选动点B，以O为圆心，OB为半径作圆，与两条直线交于B,C,D,E。则此四点任两点连线中点都满足条件，通过构造各点轨迹发现：此六点都在一个等轴双曲线上，且此双曲线还经过点O和完全四边形BCDE三对对边交点。进一步研究发现此双曲线中心为四边形BCDE重心（即对边中点连线的中点），渐近线和∠BAC内外角平分线互相平行。

当然这还不够，我们希望由两条直线和点O确定此等轴双曲线。联想到上面的特例，应该和O在两直线上的垂足有关。

设O在两直线上投影为I，J，Z为IJ中点。O关于Z的对称点为T，构造过A,I,O,J,T五点的圆锥曲线，度量发现此双曲线离心率为√2，此双曲线渐近线平行于角A平分线。

A,O,I,J满足条件是是显然的，因为这些点都是退化的情形:过A,I,J所作的的垂线在两条直线截的线段长度均为0.对O能找到一条直线在两直线上截线段相等。

下面证明本结论。

我们设等轴双曲线方程为y=c/x,各点坐标为I(t,c/t), J(-t,-c/t),A(a,c/a), P(p,c/p) , O(o,c/o)。证明中主要应用一个引理: AI斜率为

k=( c/t- c/a)/(t-a)=-c/(at);

这样同理即得AJ斜率为c/(at).

故AI、AJ斜率互为相反数，即∠IAJ内角平分线与x轴垂直。

由OI⊥AI，得 -c/(at)*( -c/(ot))=-1,此式等价于OJ⊥AJ。

从而证明了过A,I,O,J的等轴双曲线中心为IJ中点，渐近线分别与∠IAJ内角平分线平行和垂直。

下面证明过此双曲线上任意一点P作OP垂线交AI、AJ于D、C，则PD=PC。

证明：由引理知PI、PJ斜率互为相反数，OI、OJ斜率互为相反数，故∠PIO=∠PJO.

由垂直得PDIO,PCJO共圆，故∠PDO=∠PIO=∠PJO=∠PCO,

故OD=OC,PD=PC。

这证明了此双曲线上任意一点都满足条件，下面还要说明满足条件的所有的点都在此双曲线上。这也是显然的，把上述证明倒过来写即可，因为若PD=PC，则同理可得∠PIO=∠PJO，即得点P必在此双曲线上。

至于四边形BCDE对边交点也在此等轴双曲线上，这是因为由蝴蝶定理知这些点满足条件，故他们在此双曲线上。

当然当点O位于∠IAJ角平分线上时，双曲线退化为直线IJ，即为最开始的结论。

这样我们就获得了一种新的角度来看待蝴蝶定理。

首先我们对于《蝴蝶定理之二》里面的形内推广、形外推广等形式的蝴蝶定理有了新的认识和理解。

其次对于《蝴蝶定理之十》里面的命题2，我们也可以从这个角度重新观察。

再次，这里过O作两边垂线体现了蝴蝶定理证法2的本质所在。

当然，最开始的结论如果从完全四边形角度，可以叙述为：圆内接四边形六边中点、三对对边交点、及圆心O在同一个等轴双曲线上，此等轴双曲线中心为四边形重心，渐近线平行或垂直于对边延长相交的角平分线。

如果我们再引入一个等轴双曲线的重要性质：

布里安香—彭色列定理[1]：等轴双曲线上任意三点的垂心还在此双曲线上。

此定理很漂亮，证明也不难，类似上面的证明，很容易计算出垂心坐标，进而说明垂心在此双曲线上，这里从略。

这样我们对《蝴蝶定理之八》的第1题就能重新认识了：设AO为圆直径，由上述结论知过ABOC的等轴双曲线经过H，故HF=HE。

最后看一个问题：

已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E、F在边AC、AB上且CE=CD,BF=BD,

过A作EF平行线与△ABC外接圆交于P。

求证：PE=PF.（20181127 我们爱几何 新题快递 作者 卢圣）

思路分析：想到作出A的对径点A’，用勾股定理证明A’E=A’F即可。

证明：设AA'为圆O直径，由勾股定理得

A'B^2-A'C^2=AC^2-AB^2=DC^2-DB^2=EC^2-FB^2,

即A'F=A'E,

又A'P⊥AP,则A'P⊥EF,

故A'P为EF中垂线，故PE=PF。

注：在上述等轴双曲线角度下，作出A’合情合理，EF中点也在此双曲线上，且△ABC垂心H也在此双曲线上。当然此题还有不少问题值得进一步探讨。

本文探索了一个有关蝴蝶定理的一般性问题：对于给定的两条交于A的直线和定点O，动点P满足过P作OP垂线交两直线于C，D，且PC=PD。求动点P的轨迹。结果所求轨迹是一条漂亮的等轴双曲线，在此角度下，我们对前面的蝴蝶定理等相关问题有了新的本质的理解和认识。

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