三体运动真的不可预测吗（三体运动欧拉拉格朗日特解与三体运动的新特解）

题图：三体运动的新特解

解读《三体》:7. 三体运动：欧拉、拉格朗日特解与三体运动的新特解

魏成领悟到“空”的微妙之处以及三体运动的基本图景后，用自己的方法，不通过计算机，只用纸笔计算三体运动。

一个年轻的女人因为捡到了他丢弃的草稿纸而找到他，对他的方法非常感兴趣，约他下山，为他提供计巨型计算机。魏成答应了她。此人是申玉菲，后来成为魏成的妻子。此时的申玉菲已经是三体教的信徒。魏成无意中听到她祈祷：“佛祖保佑我主脱离苦海。”魏成非常不解，但无法盘问出任何信息。这让魏成感到恐怖。他问了长老，长老考虑片刻后，告诉他：“她的那个主，是真实存在的。”“佛祖的存在是你不能够理解的存在；而她说的主，是以你能够理解的方式存在着的……”长老劝他别跟申玉菲走，因为他觉得“她背后可能有一些你我都无法想象的事情”。

下山之后，魏成与申玉菲结婚，申玉菲非常有钱，魏成有小型机，还可以到国外用大型机。他过着“衣来伸手，饭来张口”的生活，只需要专著研究三体运动，其他一概不用管。申玉菲从不干涉魏成生活，“我甚至敢肯定，自己带一个女人回家她都不在乎”，夫妻俩唯一交流的内容就是三体问题，申玉菲每天都要了解研究的进展。

这次魏成来报案，是因为有人要谋杀他。

在写到魏成并提到“三体问题”后，刘慈欣加了注解：“三个质量相同或相近的物体在相互引力的作用下如何运动的问题，是古典物理学的经典问题，对天体运动研究有重要意义，自十六世纪以来一直受到关注。瑞士数学家欧拉、法国数学家拉格朗日，以及近年来一些借助于计算机研究的学者，都找出了三体问题的某些特解。”

这里，大刘将三体运动等同于“一般三体运动”，而事实上，三体运动还包括了“限制性三体运动”。前者对质量没有限制，可以是完全相同，可以是不相同；后者则常常假定一个“大质量 两个小质量”或者“一个小质量 两个大质量”。

欧拉、拉格朗日当初的研究工作中，确实涉及到“一般三体运动”，但也初步涉及到“限制性三体运动”。

我们在下面两节现在开始分析欧拉、拉格朗日的工作。

欧拉生平与贡献

欧拉欧拉（Leonhard Euler）于1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔（Basel）的一个牧师家庭。欧拉自幼天赋超人，10岁即自学《代数学》，13岁进入巴塞尔大学，主修哲学与法律，但因为他的数学才华受到当时欧洲大陆最杰出的数学家约翰·伯努利的激赏，因此每个周六下午到约翰那里接受单独指导。在约翰·伯努利的悉心指导下，欧拉凭借自己的超人才华，于15岁大学毕业，16岁获得哲学硕士学位，学位论文的主题是研究笛卡尔哲学和牛顿哲学的比较。然后，欧拉遵从了父亲的意愿，开始学神学、希腊语和希伯来语。约翰·伯努利以欧拉可以成为一个伟大数学家为由，说服了欧拉父亲，让欧拉学习数学。1726年，19岁的欧拉完成了博士学位论文，内容是研究声的传播规律，然后他获得了巴塞尔大学的一个教职。1727年，20岁的欧拉参加了巴黎科学院有奖问题竞赛（the Paris Academy Prize Problem competition），竞赛主题是找出船上的桅杆的最优放置方法。欧拉获得二等奖，获得一等奖的是被誉为“舰船建造学之父”的布格（Pierre Bouguer）。此后，欧拉再也没有得过二等奖，而是在他一生中12次赢得该奖项一等奖。1734年1月7日，27岁的欧拉与科学院附属中学的一个名为柯黛琳娜·葛塞尔（Katharina Gsell，1707-1773）的美术教师结婚，对方也是瑞士人。此后两人生了13个子女，但仅有5个活到成年。

1735年，欧拉用自己创立的方法用三天时间计算并解决了与彗星轨道有关的天体力学难题，据说其他著名数学家用了几个月时间才得到相同结果。这一年，欧拉右眼失明。失明的原因有多种说法，欧拉认为是制作地图时太用功，有些记载则认为是因为持续三天计算彗星轨道问题，还有一种说法认为这是因为之前三年的一场发热导致的。最可能的情况是持久的积劳成疾与疾病导致。

1741年6月19日，欧拉应普鲁士腓特烈大帝之邀离开圣彼得堡，前往柏林科学院任物理数学所所长，在此后25年，他继续辛勤耕耘，写的文章超过380篇文章。

1766年，在沙皇凯瑟琳二世的恳求下，59岁的欧拉返回圣彼得堡。这一年，欧拉的另一只眼睛检查出白内障，很快也失明了。但因为欧拉有极好的心算能力，有一个著名的事迹是：他的两个学生在计算一个复杂的收敛级数的17项求和时算到第50位数，结果出现差异，欧拉对这个问题进行心算，把错误找出。因此，欧拉开始在脑中完成论文，念给书记员听，然后书记员记录下来，在失明后的17年间，他通过这种口述的方式，完成了几本著作和大约400篇论文。

1771年，圣彼得堡大火灾，欧拉的大量著作无法抢救出来，被烧毁。幸好，欧拉有惊人的记忆力，他可以从头到尾背下维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》，能够复述年青时写下的笔记。凭借惊人的记忆力与毅力，欧拉重新背出大量著作，由学生与其长子A·欧拉（也是数学家和物理学家，但贡献远不及父亲）整理成书。

1783年9月18日下午，欧拉刚计算完气球上升定律，为庆祝这个成功，欧拉请朋友们吃饭，并和孙子嬉戏，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中掉落，说了人生最后一句话：“我死了。”然后终止了他伟大的一生。

欧拉是举世闻名的数学大师，对当时数学的所有领域都是出色的贡献。所以数学上有许多以以他的名字命名的重要公式、定理以及常数。

欧拉对分析学（包括微积分、微分方程、变分法等领域）有杰出贡献。微积分虽然被牛顿与莱布尼茨分别创立，但是依然应用不大广泛，其理论根基也不够牢固。正是欧拉在五十多年的辛勤工作中，使微积分、微分方程都获得极为繁荣的发展，并与后来的拉格朗日一起，开辟了变分法。欧拉写的《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》是18世纪欧洲标准的微积分教科书，此后几百年的微积分教材，要么抄欧拉，要么抄那些抄欧拉的著作。

欧拉是一个极其多产的作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，一生完成886种论文与书籍，平均每年写800多页。除了教科书外，他的全集有74卷。圣彼得堡科学院用了47年时间才整理完他的著作。由于欧拉在分析学方面作出的杰出贡献，他因此被称为“分析的化身”。他的老师约翰·伯努利对他说：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。”阿拉戈（D. F. J. Arago）说：“欧拉计算起来轻松自如， 就像人们呼吸， 鹰在空中飞翔。”拉普拉斯说：“读欧拉吧，读欧拉吧，他是我们所有人的导师。（Read Euler, read Euler, he is the master of us all.）”。19世纪最伟大的数学家高斯曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。”二十世纪著名的数学大师韦伊（A.Weil）说：“今天的学生从欧拉的无穷分析引论中所能获得的益处，是现代任何一本教科书都不能比拟的。”

欧拉画像（来源：网络）

欧拉与三体运动

这里，我只强调他在三体运动问题中的贡献。

在二体系统中，小的天体围绕大的天体作椭圆轨道运动或双曲轨道或者抛物轨道运动。如果这时候加上一个其他天体，那么将如何？

比如月球绕着地球运动，假设地球是标准的圆球，那么这就是一个二体运动，月球显然绕着椭圆轨道运动。但不要忘了，附近还有一个太阳，虽然它距离月球大约1亿5千万千米，比地月之间的平均距离（38万千米）大了大约400倍，但它的质量却是地球的数百万倍。

根据现代理论，月球本是一个外来的星球，撞击到地球一极，地球一开始绕着太阳转时，赤道面与公转轨道面是重合的，被这么一撞击，产生了偏离，于是其南北极连线与太阳南北极连线不再平行，太阳的照射在一年中因此不同，因此地球有了春夏秋冬，也就有了古往今来中外诗人词人的伤春悲秋。然而由于月球依然受到太阳的吸引力干扰，使得月球的精确位置不容易预测，这是一个三体运动问题，月球问题也是被研究地最多的三体问题之一。牛顿在创立天体力学之后，就开始研究月球问题。据说牛顿从不头痛，但是思考月球运动时就会头痛。因为月球运动过程中，即使不考虑其他行星的引力扰动（天文学家称之为“摄动”），太阳的引力扰动也时无法避免的。这就是一个三体运动问题。

欧拉是月球运动理论的实际创立者。虽然牛顿进行了一些前驱工作，但直到欧拉欧拉持续数十年的工作之后，月球理论才被完整建立。对整个微积分、微分方程以及天体力学（包括三体运动）做出关键性贡献的人中，欧拉是第一个。但是，作为月球动力学创始人，作为伟大的数学家与伟大天体力学家的欧拉，在月球问题上面奋斗了数十年之后，沮丧地宣称自己这四十年的努力是失败的。他们远没有那些诗人词人悠闲。

直接求解三体问题是极其困难的，因此天体力学家只能退而求其次，先考虑二体互相环绕，然后加入一个小的第三体进行扰动，这个方法被称为“摄动方法”。

尽管晚年的欧拉宣称自己在月球运动理论中奋斗四十多年的结果是失败的，但他却反而在一般三体运动方面做出了一个相当意外的杰出成果：在他60岁时（1767年），他发现了三体运动的3个特殊解，在这3个解之中，3个质点始终共线且绕质心做椭圆运动。这三个点被称为“欧拉特解”。

在这篇著名的论文中，欧拉创立了旋转坐标系，在这样的坐标系中研究圆型限制性三体运动。此前的坐标系都是固定坐标系，三个物体的位置随时变化。在旋转坐标系中，两个大天体的连线被确定为 x 轴，它们的质心被确定为原点。这两个大天体围绕质心作圆周运动，x轴跟着同步转动，使得两个物体始终位于x轴，这就是旋转坐标系。

欧拉的这个绝妙处理，是三体问题上的一个极重要进展。

他发现的3个平衡点后来也被拉格朗日发现，因此被后世称为“第一拉格朗日点”（L1）、“第二拉格朗日点”（L2）与“第三拉格朗日点”（L3），但更确切的称呼其实应该是“第一欧拉点”、“第二欧拉点”与“第三欧拉点”。这三个点也许应该被称为“欧拉-拉格朗日点”才更确切。这三个点在航天学上有极其重要的应用。

一般三体运动的直线解：欧拉特解（Musielak and Quarles，2015）

拉格朗日与三体运动问题

拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）是法国伟大数学家之一。1736年1月25日生于意大利都灵。1755年，19岁的拉格朗日解决了著名的“等周问题”，与欧拉一起成为“变分法”的创始人，因此成为都灵皇家炮兵学校的教授。第二年，由于欧拉的举荐，20岁的拉格朗日称为普鲁士科学院通讯院士。

1763年，27岁的拉格朗日用万有引力解释了月球的天平动问题（通俗说，既是月球的摇摆问题），因此于第二年获得法国科学院奖励。

由于潮汐锁定，月球的公转周期和自转周期相同，始终以同一面对着地球。但是，由于地球的非球形部分产生的额外摄动，月球会出现点头和摇头运动，即所谓的天平动，点头的是纬度天平动，摇头的是经度天平动。实际上，在天体力学中，天平动是一种普通的现象，可以在太阳系许多天体的运动中观测到。经度天平动和纬度天平动合称为“物理天平动”，因为它们是由真实的力学效应引起的。还有一种天平动是光学天平动，是因为在地球的不同地方观测后拼接的观测图比单独一个地方观测多出的部分。这样，我们实际看到的月球就不是它表面的一半，而是61%。拉格朗日研究了天平动的动力学起因，并因此获得大奖。

1766年，拉格朗日因为解决木星的四个卫星的运动问题（这是一个六体运动问题）获得法国科学院奖励。

1813年4月11日早晨，拉格朗日逝世。

拉格朗日在全部著作超过500篇，对数学、物理学和天文学的主要领域都作出非常重要的贡献，他在天体力学方面的很多工作被稍后的拉普拉斯吸收继承发展，事实上，拉普拉斯就抄袭了不少拉格朗日的成果，因此留下了抄袭者的恶名。当然，拉普拉斯本人也是非常杰出的天体力学大师与数学大师，只是有时候过于虚荣，不愿意承认拉格朗日的某些贡献。换言之，即使去除抄袭拉格朗日的那些成果，拉普拉斯依然是伟大的天体力学大师与数学大师。法国当时有"3L”，是拉格朗日、拉普拉斯与勒让德三人的首字母并称。其中拉格朗日名誉最好，拉普拉斯因为抄袭和政治上见风使舵而被后代批评。

拉格朗日最著名的专著是《分析力学》，整部书没有一张图，他对此颇为自得。这部书是牛顿的《自然哲学的数学原理》之后的又一部经典力学巨著。物理系学生学习的四大力学的第一个就是：“理论力学”，其实就是“分析力学”。

这里我依然只强调拉格朗日在三体运动问题中的贡献。

拉格朗日画像（来源：网络）

在欧拉得到三个特解之后五年，即1772年，拉格朗日不仅得出了欧拉的三个特殊解，而且得出了另外两个解，这五个解被统称为“拉格朗日平衡点”，拉格朗日新发现的那两个点分布于等边三角形的顶点，在一定的初始条件下将始终保持在等边三角形的顶点上，如下图。

一般三体运动的等边三角形解：拉格朗日解（Musielak and Quarles，2015）

顺便提一句，孙义燧院士与周济林教授合著的《现代天体力学导论》（2008年）的封面唯一用到的图案此图。

《现代天体力学导论》封面（孙义燧，周济林 著）

必须特别提及的是，欧拉特解与拉格朗日特解，不仅对于限制性三体运动成立，对于任意质量的三体运动也成立。

由于拉格朗日的五个解中包含了欧拉的三个解，那三个解（共线解）对应的点因此被称为L1，L2，L3，这三个解“线性不稳定”，因此也“不稳定”。

拉格朗日新发现的两个解对应的点称为L4与L5，这两个点是“线性稳定的”，但是在“非线性”时是否稳定，则需要用到几十年前发展起来的著名而艰深的KAM理论。

这五个点非常有用。先考虑两个天体，都绕着质心做椭圆或者圆周运动。再考虑第三个天体，则三个欧拉-拉格朗日点（L1，L2，L3）分别在两个物体内部（L1）

和两个物体外侧（L2，L3），分别被称为内拉格朗日点与外拉格朗日点。

两个拉格朗日秤动点（L4，L5）的位置恰好都与另外两个天体形成等边三角形。

三个不稳定的拉格朗日点（L1，L2，L3），也得到了应用。

5个欧拉-拉格朗日点的图如下图（距离并未按照真实比例）。

5个拉格朗日点（来自wiki词条：Lagrange points）

拉格朗日点上的天然天体：木星的特洛伊群与地球的特洛伊群

一开始，朗格朗日认为自己发现的秤动点（L4与L5）在天文学上没有实际上的应用。

后来，天文学家发现木星轨道上存在着希腊（Greek）小行星群和特洛伊（Trojan）小行星群，它们与木星、太阳正好处于等边三角形顶点处，希腊群在前，特洛伊群在后，前呼后拥地绕太阳转，它们也被统称为特洛伊群。这是一个惊人优美地验证。

希腊群的第一个成员星是1906年2月22日才被德国天文学家沃尔夫（Max Wolf，1863年6月21日-1932年10月3日）发现的，编号为588号。【沃尔夫是德国著名的天文摄影专家，采用摄影方法，利用长时间曝光技巧，根据划出的亮线，确定新发现的天体不是恒星而是小行星。他一生发现248颗小行星与4颗超新星：SN 1895A、SN 1909A、SN 1920A与SN 1926A（与雷牧斯共同发现）。沃尔夫还发现了14P/沃夫彗星和43P/沃夫-哈林顿彗星，并发现了红矮星沃夫359，这是最靠近太阳系的恒星之一。】

这颗小行星被命名为“阿喀琉斯”，他是古希腊特洛伊战争中的英雄人物。此前小行星命名多以希腊女神名字来命名，但是这颗小行星轨道特别，运动较慢，处于木星轨道上，因此是比较离群的，符合“阿喀琉斯”特立独行的性格，此后在这个位置又发现了一些小行星，如，1907年与1919年分别发现624号与911号小行星，他们分别被命名为赫克托尔（特洛伊王子，在特洛伊战争中杀死普特洛克罗斯，然后又被阿喀琉斯杀死）与阿伽门侬（特洛伊战争中的希腊军统帅），它们被统称为“希腊群”或者“阿喀琉斯群”。按照敌我双方关系，“希腊群”中的成员不应有“赫克托尔”，因为他是希腊的敌人，特洛伊的英雄。但是，那时候尚未区分“希腊群”与“特洛伊群”，因此出现混合。到21世纪，希腊群成员已经超过1000颗。

木星轨道后方的发现几乎同步于前方。1906年底，在木星轨道后方大约60度发现编号为617号的小行星，跟随木星运动，它被命名为普特洛克罗斯，是阿喀琉斯的亲密伙伴，此后这个位置上发现的小行星都被集体称为“特洛伊群”或者“普特洛克罗斯群”。与上面的道理相同，这个群不应该出现“普特洛克罗斯”，因为他是“特洛伊”的敌人。到21世纪，特洛伊群成员超过600颗。

这类群体被统称为“特洛伊群”。

以上是太阳-木星系统的特洛伊群。在此后，天文学家发现火星-太阳、土星-太阳、海王星-太阳也有类似的小行星群，位于L4和L5点。

太阳-地球系统的类似的特洛伊小行星直到2011年7月才被“红外线空间望远镜广域红外线巡天探测卫星（Wide-field Infrared Survey Explorer，WISE）”发现，WISE于2009年12月14日发射。2010年1月6日，拍摄第一张照片，2010年1月14日，以四个波段开始巡天，计划为期9个月，其中前6个月观测99%的天空，后3个月持续观测。2010年10月，WISE的制冷剂用完，转为观测近地天体，2011年2月1日，WISE任务结束，进入休眠状态。2013年12月，NASA重新激活WISE，并将其改名为NEOWISE，被激活后的25天内识别到太阳系内857个小天体。

WISE的主要仪器为口径40厘米的红外线望远镜，工作波长3-25微米（3000 -25000纳米，我们眼睛可见的光的波长范围为400-770纳米）。由于极高的灵敏度，天文学家预期它每天可以发现数十颗小行星。

这颗小行星位于太阳-地球L4点，被命名为“2010 TK7”。它的直径接近300米，远日点与近日点分别为1.19095AU与0.80955AU，运行轨道的半长轴为1.00025AU。AU为太阳与地球的平均距离。

2010 TK7的偏心率为0.19066，轨道倾角为20.8656°。轨道周期为365.394地球日，接近地球的轨道周期（365.256地球日）。

2010 TK7与地球之间的距离在不断变化，最小距离也有2000万公里，是月球与地球距离（约38万公里）的50倍。当前它与地球之间相距8000万公里，是地月距离的200倍。

2010 TK7的轨道非常奇异，虽然现在它处于L4点，但是却因为受到其他大行星的摄动引力而四处漂移，有时候会漂移到L3点，这是地球背向太阳的那个点，属于欧拉点，然后还会漂回来，来回运动的周期约400年。更奇异的是，Martin Connors、Paul Wiegert与Christian Veillet三人在Nature的论文中还指出，公元500年时，它的位置可能在拉格朗日点L5点，然后通过L3来到点L4附近，然后在L3点与L4点之间来回运动，周期约400年，半长轴也以相同周期在0.997到1.003AU之间震荡。以上两个周期运动见下图。

2010TK的运动规律与长轴周期性变化（Martin Connors等人，Nature）

由于受到众多大行星摄动，2010TK7的轨道很混乱，难以预测。这也正是三体问题的核心问题。

欧拉-拉格朗日点上的人造天体：SOHO、GGS Wind与ACE

美国发射的由NASA与ESA联合管理的太阳观测卫星SOHO（Solar and Heliospheric Observatory，太阳和日球层天文台）就位于太阳-地球系统的L1点上，距离太阳很远（0.99AU），距离地球很近（0.01AU），因为质量与地球大得多，所以必须距离地球近才可以使得这颗卫星受到的两个引力互相平衡。因此这颗卫星其实不能算严格意义上的卫星，它不绕地球运动，而是跟随地球一起绕着日-地系统的质心运动，实际上可以近似地说它与地球一起绕太阳运动，因此日-地系统的质心几乎完全与太阳质心重合。简单说，SOHO处于日-地系统的“内拉格朗日点”。

SOHO于1995年12月2日发射升空，1996年5月正式运行，原计划运行2年，但实际上运行时间超过18年。SOHO不仅是研究太阳的最重要飞船，也可以观测彗星，至今已经发现了2700多颗彗星。SOHO还可以针对太阳活动，进行太空天气实时预报。在1998年的一次突发事件中，SOHO差点失控丢失，此后，地面控制人员将其设置为史上第一个“三轴稳定飞船（three-axis-stabilized spacecraft）”，以其反作用轮（reaction wheels）作为陀螺。陀螺仪是傅科（Léon Foucault）于1852年发明的，是飞船控制姿态的最重要仪器。

SOHO（来源：网络）

WIND（来源：网络）

除了SOHO之外，还有另外至少两个卫星处于太阳-地球系统的L1点附近：GGS Wind与ACE（Advanced Composition Explorer）。

GGS Wind全称是“The Global Geospace Science (GGS) WIND”，是一颗地球科学卫星。其中Wind可能代表新泽西州的East Windsor，这颗卫星是在这里的Martin Marietta天文空间部门设计制造的。

GGS WIND卫星自转稳定化圆柱形卫星，直径2.4米，高1.8米，用以研究太阳风中的射电与等离子体，也用于研究太阳风达到之前的地球磁层（地球上方1 000公里到大气顶端之间的稀薄电离气体层）。于1994年12月1日美国东部时间04:31:00发射升空，运载火箭为Delta II 7925-10，

GGS WIND本被计划于发射升空不久之后就进入L1点，但是因为SOHO与ACE被安排在相同区域，所以直到2004年才持续处于L1点，至今仍在运转。上面用以控制姿态与位置的燃料还可以让它正常运行约60年。至2014年3月，直接或间接利用GGS WIND的数据写出的论文已经达到约3千篇（见wiki 百科的介绍）。ACE全称“Advanced Composition Explorer”（直译为“高级组成探测器”），由约翰霍普金斯应用物理实验室（Johns Hopkins Applied Physics Laboratory）制造，于1997年8月25日14:39:00由Delta II 7920-8发射升空，

发射时为757千克，净重562千克。

ACE是用以研究太阳元素组成、粒子加速与转移等课题的卫星。

因为也要研究太阳，所以也被放在L1点上。

外拉格朗日点有更重要的应用。著名的WMAP（The Wilkinson Microwave Anisotropy Probe，威尔金森微波各向异性探测器）就位于外拉格朗日点L2上，

在日-地系统连线靠近地球的点上，距离地球距离为150万公里（月球与地球平均距离为38万公里，约为这个距离的4分之1），如下图所示，地球与太阳的距离则为1.5亿公里，为这个距离的100倍。

WMAP位于L2点（来源：网络）

为何SOHO与WMAP二者一个在内拉格朗日点，一个在外拉格朗日点？因为SOHO要探测太阳，所以直接面对太阳，而WMAP要尽量躲避太阳，所以就躲在地球后面。显然，WMAP也不算真正的卫星，也是与地球一起绕着太阳运动，如下图。

WMAP的位置在L2点随着地球一起围绕太阳运动（来源：网络）

但是，之前已经说过，共线情形下的解不稳定，也就是说，物体在相应点不能稳定停留，星体位置会偏离平衡点，这种偏离会随着时间的推移而变大。但是发射的人造天体含有液体，可以通过地面控制喷射液体，产生反冲力，维持运动稳定，使星体位置在平衡掉位置附近运动，这样的校正，需要的能量并不多，可以实现。如同一只削尖的铅笔，笔尖朝下，立在桌面上，即使暂时稳定，但是很快就会倒下，这就是共线情形不稳定的很好类比。但如果我们在铅笔快倒下时，适当地扶一下，那么铅笔就会保持稳定。SOHO和WMAP的稳定性也是通过类似方式保持的。

从上面的讨论中，我们看到了欧拉解与拉格朗日解的巨大威力。

三体运动的新的周期解

在谈到三体运动的进展时，魏成提到了国外的进展：“以目前世界上这个研究领域的一般状况来看，进展可以说是突破性的。前些年，加利福尼亚大学的理查德·蒙特哥马利和巴黎第七大学的桑塔·克鲁兹、阿连·尚斯那，还有法国计量研究机构的研究人员，用一种叫做“逼近法”的算法，找到了三体运动的一种可能的稳定形态：在适当的初始条件下，三体的运行轨迹将形成一个首尾衔接的8字形。”

魏成说到的8字形（“figure eight”）轨迹，指的是1993年Cristopher Moore发现的一类周期解（特解），见图\ref{fig:3body}左。下图右为纱线形（“yarn”）特解。图上方为抽象空间中的轨迹，下方为真实空间中看到的轨迹。

三体运动的特解的例子。左：8字形特解；右：纱线形特解（Suvakov和DmitraSinovic）

三体问题周期解在欧拉与拉格朗日之后就就进展很少。20世纪70年代，Roger Broucke和Michel Hénon用计算机进行模拟，得到了更多结果。现在，这些周期解上被分为3族：

[·] 欧拉-拉格朗日族，就是上面介绍的欧拉与拉格朗日发现的那些平衡点；

[·] Broucke-Hadjidemetriou--Hénon族；

[·] 8字形族。

2013年，这方面的研究获得又一个突破性进展，物理学家Milovan Suvakov和Veljko DmitraSinovic在《物理评论快报》（Phys. Rev. Lett. 110, 114301 (2013)）上发表文章，宣布发现13族新的特解，三体问题特解的族数直接从3族扩充到16族。

Milovan Suvakov和Veljko DmitraSinovic将新的13族分为3类：

第1类共3族，分别为：

[·] I.A.1~butterfly I（蝴蝶类I）；

[·] I.A.2~butterfly II（蝴蝶类II）；

[·] I.A.3~bumblebee（大黄蜂类）；

第2类共7族，分别为：

[·] I.B.1 moth I （飞蛾类I）；

[·] I.B.2 moth II （飞蛾类II）；

[·] I.B.3 butterfly III （蝴蝶类III）；

[·] I.B.4 moth III （飞蛾类III）；

[·] I.B.5 goggles （护目镜类）；

[·] I.B.6 butterfly IV （蝴蝶类IV）；

[·] I.B.7 dragonfly（蜻蜓类）。

第3类共3族（后面2族又分为a与b）族，分别为：

[·] II.B.1~yarn（纱线类）；

[·] II.C.2a/b~yin-yang I（“阴阳图”形类I）；

[·] II.C.3a/b~yin-yang II（“阴阳图”形类II）。

下图为Milovan Suvakov和Veljko DmitraSinovic

在2013年的《物理评论快报》的文章上给出的5类解，其中第一类是之前已经被其他人发现的。

三体运动的特解的6族曲线（Suvakov和 DmitraSinovic）

上图分别给出三体运动的特解的6族曲线，前5个为抽象空间中的轨迹，其中a与d图及其在真实空间中的轨迹见图上上图的下方。图f为阴阳图类解II型在真是空间中的轨迹。这6族分别为：

[(a)] 8字形类轨道；

[(b)] I.A.1~butterfly I（蝴蝶类I）；

[(c)] I.B.1 moth I （飞蛾类I）；

[(d)] II.B.1~yarn（纱线类）；

[(e)] II.C.2a~yin-yang I（“阴阳图”形类I）；

[(f)] II.C.3a~yin-yang II（“阴阳图”形类II）在真实空间中的轨迹。

也就是说，自从1993年Cristopher Moore发现8字形轨迹之后，直到2003年，才出现新的突破。

魏成提到了8字形解，又说“后来人们都热衷于寻找这种特殊的稳定状态，找到一个就乐得跟什么似的，到目前为止也就是找到了三四种。”故事发生在2007年，从1993年到2007年之间没有任何人宣布发现新的类型，一直停留在1993年的情况，直到2013年才一口气发现了以上说的13族。

魏成接着说：“其实，我用进化算法已经找到了一百多种稳定状态，把那些轨迹画出来，足够办一个后现代派画展了。”我们就当魏成已经发现了新的轨迹但未公开。

魏成接着说：“但这不是我的目标，三体问题的真正解决，是建立这样一种数学模型，使得三体在任何一个时间断面的初始运动矢量已知时，能够精确预测三体系统以后的所有运动状态。这也是申玉菲渴望的目标。”

这恰是拉普拉斯当年的设想，假定任意给定时刻的速度的大小与方向（速度矢量包含了速度的大小与方向）给定，然后就可以根据力学规律确定出之后的所有精确运动。这就是所谓的“决定论”。

庞加莱确实没有说这样不可能，他只是说三体运动没有一般的积分，除了少数特解（周期解）之外，绝大多数情况下，三体运动的轨迹不可能出现周期性重复。这是什么意思呢？月球绕着地球旋转，以地球为参照物，每过大约27天半，月球就就回归到原来位置，如此循环，这就是最简单的周期性运动。当然，实际上，月球绕地球的距离每年都有几厘米的变化，其轨道并非精确的椭圆轨道，其运动并非严格的周期运动，但我们忽略其他一切外力干扰（摄动），月球运动就是周期运动。

但三体问题中，周期运动是极难出现的。除了以上16族周期解之外，虽然还可以发现更多周期解，但周期解数目依然远小于“非周期解”的情况，对于大多数三体运动，运动都是无规则的。

对于这样混乱的无规则运动，要计算它们在此后每一时刻的位置与速度大小、方向，需要非常复杂的计算，因此要动用大型计算机。计算机能力越强，就能预测地越精确。

这个问题不可能通过方程与模型自身的改进来解决，只能求助于不断提高的计算机计算能力。所以这实际上根本用不着魏成，只需要计算机。但作为三体人的代理人之一，申玉菲依然希望魏成能够给出更有效的方法，预测三体运动中，物体进行非周期运动时，任何时刻的位置、速度大小与方向。

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