一个扇形中有三角形求剩下的面积（扇形中相关几何问题的巧妙求解）

扇形作为圆的一部分具有圆的相应性质，同时亦具有其本身的特点，同样，在扇形中存在着五花八门的各类题型和几何问题。现选编三例来说说其的求解技巧：

【例一】（如图）扇形AOB中，∠AOB=90º，将扇形AOB绕点B逆转得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，则：AD/AC的值为多少？

【简解】

（1）由题意得∠ADB=（360º－90º）/2=135º

（2）设OA=a，连AB，AB=√2a，∠ADC=135º

（3）易得：△ABD≌△ACD，∴AC=AB=√2a

（4）设AD=x，在△ACD中，由余弦定理得：（√2a）²=x²＋a²＋√2ax，得x²＋√2ax－a²=0，解之：x=（√6－√2）a/2（负根舍去）

（5）故：AD/AC=x/√2a=（√6－√2）a/2√2a，得：AD/AC=（√3－1）/2

【例二】（如图）在半径为6的扇形OAC中，B为圆弧上一点，D在半径OC上，∠AOC=100º，∠ADO=50º，∠BCD=70º，求：阴影部分的面积

【简解】

（1）由题意得：∠OAD=30º，连OB交AD于E，由：OB=OC可得，∠BOC=40º，∴∠AOB=60º，AE⊥OB，OE=OA/2=3=BE，∴AD为OB的中垂线

（2）连接BD，则DB=DO，∴∠EBD=40º，∴∠EDB=50º，∠BDC=80º

（3）过点B作OC的垂线段BM，垂足为M，过点D作AO的垂线段DN，垂足为N，易证：△BDM≌△DON，∴BM=DN

（4）易证：S△BCO=S△ADO，∴四边形BCDE的面积=S△AEO

（5）所以：阴影部分面积=S扇形AOB=6π

【例三】（如图）在扇形AOB中，∠AOB=90º，OA=12，点C在OA上，AC=4，点D在OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD交点为F，（1）当四边形ODEC的面积S为最大时，求EF，（2）求：（CE＋2DE）的最小值

【简解】

（1）由已知CD为定线段，S△CDO为定值，当OFE垂直CD时（如图OF’E’），S△CDE取最大值，所以四边形ODEC亦取最大值

（2）此时，OF’×CD=OC×OD，∴OF’=24/5，E’F’=12－24/5=36/5，即：当四边形ODEC的面积取最大时，EF=36/5

（3）分别取OC、OE的中点P、Q，连PQ，PQ=CE/2，连QB，易证△QOB≌△DOE，∴QB=DE

（4）PQ＋QB≥PB=4√10，CE/2＋DE≥4√10，所以：（CE/2＋DE）的最小值为4√10

（5）则：CE＋2DE的最小值为：8√10

以上三例之分析，“道听度说”供参考。