一个扇形中有三角形求剩下的面积(扇形中相关几何问题的巧妙求解)

扇形作为圆的一部分具有圆的相应性质,同时亦具有其本身的特点,同样,在扇形中存在着五花八门的各类题型和几何问题。现选编三例来说说其的求解技巧:

【例一】(如图)扇形AOB中,∠AOB=90º,将扇形AOB绕点B逆转得到扇形BDC,若点O刚好落在弧AB上的点D处,则:AD/AC的值为多少?

一个扇形中有三角形求剩下的面积(扇形中相关几何问题的巧妙求解)(1)

【简解】

(1)由题意得∠ADB=(360º-90º)/2=135º

(2)设OA=a,连AB,AB=√2a,∠ADC=135º

(3)易得:△ABD≌△ACD,∴AC=AB=√2a

(4)设AD=x,在△ACD中,由余弦定理得:(√2a)²=x²+a²+√2ax,得x²+√2ax-a²=0,解之:x=(√6-√2)a/2(负根舍去)

(5)故:AD/AC=x/√2a=(√6-√2)a/2√2a,得:AD/AC=(√3-1)/2

【例二】(如图)在半径为6的扇形OAC中,B为圆弧上一点,D在半径OC上,∠AOC=100º,∠ADO=50º,∠BCD=70º,求:阴影部分的面积

一个扇形中有三角形求剩下的面积(扇形中相关几何问题的巧妙求解)(2)

【简解】

(1)由题意得:∠OAD=30º,连OB交AD于E,由:OB=OC可得,∠BOC=40º,∴∠AOB=60º,AE⊥OB,OE=OA/2=3=BE,∴AD为OB的中垂线

(2)连接BD,则DB=DO,∴∠EBD=40º,∴∠EDB=50º,∠BDC=80º

(3)过点B作OC的垂线段BM,垂足为M,过点D作AO的垂线段DN,垂足为N,易证:△BDM≌△DON,∴BM=DN

(4)易证:S△BCO=S△ADO,∴四边形BCDE的面积=S△AEO

(5)所以:阴影部分面积=S扇形AOB=6π

【例三】(如图)在扇形AOB中,∠AOB=90º,OA=12,点C在OA上,AC=4,点D在OB的中点,点E为弧AB上的动点,OE与CD交点为F,(1)当四边形ODEC的面积S为最大时,求EF,(2)求:(CE+2DE)的最小值

一个扇形中有三角形求剩下的面积(扇形中相关几何问题的巧妙求解)(3)

【简解】

(1)由已知CD为定线段,S△CDO为定值,当OFE垂直CD时(如图OF’E’),S△CDE取最大值,所以四边形ODEC亦取最大值

(2)此时,OF’×CD=OC×OD,∴OF’=24/5,E’F’=12-24/5=36/5,即:当四边形ODEC的面积取最大时,EF=36/5

(3)分别取OC、OE的中点P、Q,连PQ,PQ=CE/2,连QB,易证△QOB≌△DOE,∴QB=DE

(4)PQ+QB≥PB=4√10,CE/2+DE≥4√10,所以:(CE/2+DE)的最小值为4√10

(5)则:CE+2DE的最小值为:8√10

以上三例之分析,“道听度说”供参考。

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